后向差分算子英文解释翻译、后向差分算子的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 backward difference operator

分词翻译：

后的英语翻译：

after; back; behind; offspring; queen
【医】 meta-; post-; retro-

向的英语翻译：

always; at; be partial to; direction; face; out; to; toward
【医】 ad-; ak-; ob-

差分算子的英语翻译：

【计】 difference operator

专业解析

后向差分算子（Backward Difference Operator）是数值分析、信号处理与控制理论中的核心数学工具，用于描述离散序列中相邻元素的局部变化。其数学定义为：

$$

abla x[n] = x[n] - x[n-1]

$$

其中，$ abla$ 表示后向差分算子，$x[n]$ 为离散序列在时刻$n$的取值。

该算子在工程领域的应用包括：

1. 数值微分：通过离散数据近似连续函数的导数，例如在电路仿真中计算电流变化率。
2. 数字滤波：构成一阶差分方程，用于信号去噪或边缘检测，如图像处理中的Sobel算子实现。
3. 控制系统建模：在Z域分析中，后向差分法可将连续系统转换为离散模型，适用于实时嵌入式控制。

与向前差分算子（$Delta x[n] = x[n+1]-x[n]$）相比，后向差分具有因果性，仅依赖历史数据，因此更适用于实时系统。其收敛性在《Numerical Recipes in C》中通过泰勒展开证明，截断误差为$O(h)$。

参考来源：

• 《Signals and Systems》（Alan V. Oppenheim）
• 《Numerical Methods for Engineers》（Steven C. Chapra）
• IEEE Transactions on Automatic Control 期刊

网络扩展解释

后向差分算子是数值计算和离散数学中的基本工具，主要用于近似导数或描述离散序列的变化。以下是综合多个来源的详细解释：

1.基本定义

后向差分算子（符号通常为$ abla$）用于计算离散函数中当前值与前一个相邻值的差值。其数学表达式为： $$

abla f(x) = f(x) - f(x-h) $$ 其中$h$为步长（通常取1），在时间序列中可简化为$ abla f(n) = f(n) - f(n-1)$。

2.数学意义

• 导数近似：在连续函数中，导数对应离散函数的差分。后向差分通过$frac{ abla f(x)}{h}$近似一阶导数$f'(x)$，常用于隐式欧拉法等数值方法。
• 方向性：与前向差分（$Delta f(x)=f(x+h)-f(x)$）相反，后向差分更关注当前值与历史值的关系。

3.高阶后向差分

通过重复应用算子可得到高阶差分：

• 二阶后向差分：$ abla f(x) = abla( abla f(x)) = f(x) - 2f(x-h) + f(x-2h)$
• k阶差分公式：$ abla^k f(x) = sum_{i=0}^k (-1)^i binom{k}{i} f(x-ih)$。

4.应用场景

• 数值微分：代替连续导数，如隐式欧拉法中的时间离散化。
• 图像处理：用于边缘检测的梯度计算。
• 差分方程：描述离散系统的动态变化，如$y[n] = f(y[n-1])$。

后向差分算子通过“当前值-前值”量化离散变化，是连接连续与离散数学的重要桥梁。其高阶形式及隐式特性使其在科学计算和工程领域广泛应用。

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