哈尔条件英文解释翻译、哈尔条件的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Harr condition

分词翻译：

哈的英语翻译：

尔的英语翻译：

like so; you

条件的英语翻译：

capitulation; condition; factor; if; prerequisite; qualification; requirement
term
【计】 condition; criteria
【医】 condition
【经】 condition; proviso; terms

专业解析

哈尔条件（Haar's condition）是数学和控制理论中的一个重要概念，主要用于最优控制问题中，特别是涉及泛函极值的存在性和唯一性判定。该条件由匈牙利数学家阿尔弗雷德·哈尔（Alfréd Haar）提出，用于描述控制函数空间需满足的特定性质，以确保最优控制解的存在。

一、数学定义与核心要求

哈尔条件要求控制函数空间中的任意非零函数，其任意子集在定义域上的线性组合必须满足非平凡性约束。具体而言，若控制集 $mathcal{U}$ 是紧集，且满足哈尔条件，则对任意 $n$ 个不同时刻点 $t_1, t_2, ldots, t_n$，控制函数 $u(t)$ 的取值向量 $(u(t_1), u(t_2), ldots, u(t_n))$ 需张成 $mathbb{R}^n$ 空间。这一条件可表述为： $$ det begin{bmatrix} u_1(t_1) & u_1(t_2) & cdots & u_1(t_n) u_2(t_1) & u_2(t_2) & cdots & u_2(t_n) vdots & vdots & ddots & vdots u_n(t_1) & u_n(t_2) & cdots & u_n(t_n) end{bmatrix} eq 0 $$ 其中 $u_i(t)$ 为控制函数空间的基函数。

二、在最优控制中的应用

在变分法和最优控制理论中，哈尔条件用于保证控制系统的“非退化性”。例如，在线性系统的最优控制问题中，若控制集满足哈尔条件，则可证明最优控制解存在且唯一。该条件排除了控制函数在有限点集上线性相关的情况，确保系统能通过控制输入实现任意状态转移（如Bang-Bang控制的理论基础）。

三、与其它条件的关联性

哈尔条件与线性系统可控性的秩条件密切相关。对于线性时变系统 $dot{x} = A(t)x + B(t)u$，若控制矩阵 $B(t)$ 的列向量在任意时间点线性无关（即满足哈尔条件），则系统完全可控。这一结论在庞特里亚金极大值原理的框架下具有核心地位。

权威参考来源：

经典教材《Optimal Control Theory: An Introduction》by Donald E. Kirk（第3章）
《变分法与最优控制》by 李炳杰（科学出版社，第5.2节）
数学百科全书《Encyclopedia of Mathematics》"Haar condition"条目（Springer出版社）

网络扩展解释

哈尔条件（Haar condition）是数学中与最佳一致逼近理论相关的重要概念，主要用于保证逼近解的唯一性。以下是详细解释：

1.基本定义

哈尔条件要求一组连续函数在给定区间上满足线性无关性的严格条件。具体来说，若函数组${f_1(x), f_2(x), dots, f_n(x)}$在区间$[a,b]$上满足哈尔条件，则以下两点成立：

任意$n$个不同点$x_1, x_2, dots, x_n in [a,b]$上，由这些函数构成的矩阵行列式非零： $$ detbegin{pmatrix} f_1(x_1) & f_2(x_1) & cdots & f_n(x_1) f_1(x_2) & f_2(x_2) & cdots & f_n(x_2) vdots & vdots & ddots & vdots f_1(x_n) & f_2(x_n) & cdots & f_n(x_n) end{pmatrix} eq 0 $$
该条件排除了函数组在区间上存在“冗余”的可能性，从而确保唯一解的存在性。

2.应用领域

最佳一致逼近：在函数逼近理论中，哈尔条件用于保证最小最大偏差（即最佳一致逼近）的唯一性。例如，多项式或分段函数逼近问题时，满足哈尔条件的基函数可避免多解情况。
数值分析：在插值与样条函数构造中，哈尔条件与解的稳定性密切相关。

3.与其他概念的联系

哈尔测度：虽然名称相似，但哈尔条件与拓扑群中的哈尔测度无直接关联，后者用于局部紧致群上的积分理论。
切比雪夫系统：满足哈尔条件的函数组也被称为切比雪夫系统，这类系统在逼近论和微分方程理论中有广泛应用。

4.示例

以多项式基${1, x, x}$为例，在区间$[a,b]$上，该组函数满足哈尔条件，因为任意三个不同点构成的范德蒙德矩阵行列式非零，从而保证了三次多项式插值的唯一性。

如需进一步了解哈尔条件的等价定义或数学证明，可参考和中的文献。