可数无穷域英文解释翻译、可数无穷域的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 denumerable infinite domain

分词翻译：

可的英语翻译：

approve; but; can; may; need; yet

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

无穷的英语翻译：

infinitude; without end
【计】 infinity

域的英语翻译：

field; region; territory
【计】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

专业解析

在数学领域，"可数无穷域"（Countably Infinite Field）是一个结合了集合论和抽象代数的重要概念。以下从汉英词典角度分层解析其含义：

一、术语拆解与汉英对照

可数 (Countable)
指集合中的元素能与自然数集 $mathbb{N}$ 建立一一对应关系。例如：整数集 $mathbb{Z}$、有理数集 $mathbb{Q}$ 均为可数集（来源：Rudin《数学分析原理》）。

英译：A set is countable if its elements can be put into a one-to-one correspondence with the natural numbers.
无穷 (Infinite)
描述集合元素数量无限，非有限集。分为可数无穷（如 $mathbb{Q}$）和不可数无穷（如实数集 $mathbb{R}$）（来源：Kolmogorov《函数论与泛函分析基础》）。

英译：An infinite set contains infinitely many elements.
域 (Field)
一种代数结构，满足加法与乘法的封闭性、结合律、交换律、分配律，且存在加法/乘法单位元和逆元（除零元外）。例如：有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$（来源：Artin《代数》）。

英译：A field is an algebraic structure with two operations (addition and multiplication) satisfying specific axioms.

二、整合定义：可数无穷域

中文定义
指元素个数为可数无穷（基数 $aleph_0$）且满足域公理的集合。其典型代表是代数数域（所有代数数的集合），但需注意：常见的数域中，仅代数数域是可数无穷的（来源：Hardy《纯数学教程》）。
英文定义
Acountably infinite field is a field whose underlying set has cardinality $aleph_0$ (countably infinite). For example, the field of algebraic numbers is countably infinite, whereas $mathbb{R}$ and $mathbb{C}$ are uncountable (来源：Lang《代数》).

三、关键性质与实例

存在性与最小性
可数无穷域必然存在，且有理数域 $mathbb{Q}$ 是最小的此类域（任何特征为零的可数无穷域均包含 $mathbb{Q}$ 的子域）（来源：Jacobson《基础代数》）。
与不可数域的区别
- 可数无穷域：元素可枚举（如代数数可表示为多项式方程的根）。
- 不可数域：如实数域 $mathbb{R}$，其元素无法与自然数一一对应（来源：Courant《什么是数学》）。
应用场景
在数论和模型论中，可数无穷域用于研究形式系统的可计算性（来源：Shoenfield《数理逻辑》）。

参考文献

Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis (定义可数集)
Artin, M. Algebra (域的公理化定义)
Hardy, G.H. A Course of Pure Mathematics (代数数域的可数性)
Lang, S. Algebra (可数域的结构)
Jacobson, N. Basic Algebra I (域扩张理论)

网络扩展解释

“可数无穷域”是一个数学术语，结合了集合论和抽象代数的概念。具体解释如下：

1.可数无穷

指集合的基数（元素个数）与自然数集相同，即存在与自然数的一一对应关系。例如：

自然数集 $mathbb{N}$、整数集 $mathbb{Z}$ 均为可数无穷。
有理数集 $mathbb{Q}$ 也是可数无穷的（可通过对角线法证明）。

2.域（Field）

在代数中，域是一个满足以下条件的集合：

对加法和乘法封闭；
满足交换律、结合律、分配律；
存在加法单位元（0）和乘法单位元（1）；
每个非零元素有加法逆元和乘法逆元。

常见例子包括：

有理数域 $mathbb{Q}$（可数无穷）；
实数域 $mathbb{R}$（不可数无穷）；
复数域 $mathbb{C}$（不可数无穷）。

3.可数无穷域

即元素个数为可数无穷的域。典型例子是有理数域 $mathbb{Q}$：

元素可数：可通过分数序列 $frac{a}{b}$（$a,b in mathbb{Z}$）与自然数建立一一映射。
满足域公理：任意两个有理数的加、减、乘、除（非零）仍为有理数。

4. 与不可数域的区别

不可数域（如 $mathbb{R}$、$mathbb{C}$）无法与自然数集建立一一对应，其基数远大于可数无穷。可数无穷域的有限性使其在某些数学领域（如数论、模型论）中具有特殊性质。

“可数无穷域”指元素个数可数且满足域公理的代数结构，代表案例为有理数域 $mathbb{Q}$。这一概念在分析代数系统的可计算性、模型分类等问题中有重要应用。