可數無窮域英文解釋翻譯、可數無窮域的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 denumerable infinite domain

分詞翻譯：

可的英語翻譯：

approve; but; can; may; need; yet

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

無窮的英語翻譯：

infinitude; without end
【計】 infinity

域的英語翻譯：

field; region; territory
【計】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

專業解析

在數學領域，"可數無窮域"（Countably Infinite Field）是一個結合了集合論和抽象代數的重要概念。以下從漢英詞典角度分層解析其含義：

一、術語拆解與漢英對照

可數 (Countable)
指集合中的元素能與自然數集 $mathbb{N}$ 建立一一對應關系。例如：整數集 $mathbb{Z}$、有理數集 $mathbb{Q}$ 均為可數集（來源：Rudin《數學分析原理》）。

英譯：A set is countable if its elements can be put into a one-to-one correspondence with the natural numbers.
無窮 (Infinite)
描述集合元素數量無限，非有限集。分為可數無窮（如 $mathbb{Q}$）和不可數無窮（如實數集 $mathbb{R}$）（來源：Kolmogorov《函數論與泛函分析基礎》）。

英譯：An infinite set contains infinitely many elements.
域 (Field)
一種代數結構，滿足加法與乘法的封閉性、結合律、交換律、分配律，且存在加法/乘法單位元和逆元（除零元外）。例如：有理數域 $mathbb{Q}$、實數域 $mathbb{R}$（來源：Artin《代數》）。

英譯：A field is an algebraic structure with two operations (addition and multiplication) satisfying specific axioms.

二、整合定義：可數無窮域

中文定義
指元素個數為可數無窮（基數 $aleph_0$）且滿足域公理的集合。其典型代表是代數數域（所有代數數的集合），但需注意：常見的數域中，僅代數數域是可數無窮的（來源：Hardy《純數學教程》）。
英文定義
Acountably infinite field is a field whose underlying set has cardinality $aleph_0$ (countably infinite). For example, the field of algebraic numbers is countably infinite, whereas $mathbb{R}$ and $mathbb{C}$ are uncountable (來源：Lang《代數》).

三、關鍵性質與實例

存在性與最小性
可數無窮域必然存在，且有理數域 $mathbb{Q}$ 是最小的此類域（任何特征為零的可數無窮域均包含 $mathbb{Q}$ 的子域）（來源：Jacobson《基礎代數》）。
與不可數域的區别
- 可數無窮域：元素可枚舉（如代數數可表示為多項式方程的根）。
- 不可數域：如實數域 $mathbb{R}$，其元素無法與自然數一一對應（來源：Courant《什麼是數學》）。
應用場景
在數論和模型論中，可數無窮域用于研究形式系統的可計算性（來源：Shoenfield《數理邏輯》）。

參考文獻

Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis (定義可數集)
Artin, M. Algebra (域的公理化定義)
Hardy, G.H. A Course of Pure Mathematics (代數數域的可數性)
Lang, S. Algebra (可數域的結構)
Jacobson, N. Basic Algebra I (域擴張理論)

網絡擴展解釋

“可數無窮域”是一個數學術語，結合了集合論和抽象代數的概念。具體解釋如下：

1.可數無窮

指集合的基數（元素個數）與自然數集相同，即存在與自然數的一一對應關系。例如：

自然數集 $mathbb{N}$、整數集 $mathbb{Z}$ 均為可數無窮。
有理數集 $mathbb{Q}$ 也是可數無窮的（可通過對角線法證明）。

2.域（Field）

在代數中，域是一個滿足以下條件的集合：

對加法和乘法封閉；
滿足交換律、結合律、分配律；
存在加法單位元（0）和乘法單位元（1）；
每個非零元素有加法逆元和乘法逆元。

常見例子包括：

有理數域 $mathbb{Q}$（可數無窮）；
實數域 $mathbb{R}$（不可數無窮）；
複數域 $mathbb{C}$（不可數無窮）。

3.可數無窮域

即元素個數為可數無窮的域。典型例子是有理數域 $mathbb{Q}$：

元素可數：可通過分數序列 $frac{a}{b}$（$a,b in mathbb{Z}$）與自然數建立一一映射。
滿足域公理：任意兩個有理數的加、減、乘、除（非零）仍為有理數。

4. 與不可數域的區别

不可數域（如 $mathbb{R}$、$mathbb{C}$）無法與自然數集建立一一對應，其基數遠大于可數無窮。可數無窮域的有限性使其在某些數學領域（如數論、模型論）中具有特殊性質。

“可數無窮域”指元素個數可數且滿足域公理的代數結構，代表案例為有理數域 $mathbb{Q}$。這一概念在分析代數系統的可計算性、模型分類等問題中有重要應用。