矩阵指数函数英文解释翻译、矩阵指数函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 matrix exponential function

分词翻译：

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

指数函数的英语翻译：

【计】 exponential function
【经】 exponential function

专业解析

矩阵指数函数（Matrix Exponential Function）是线性代数中扩展标量指数函数到矩阵空间的核心工具，定义为对于任意$n times n$方阵$A$，其指数表达式可表示为： $$ e^{A} = sum_{k=0}^{infty} frac{A^k}{k!} $$ 其中$A^k$表示矩阵的$k$次幂，$A^0$为单位矩阵。这一概念在微分方程、量子力学和控制理论中有广泛应用。

汉英对照关键术语

矩阵指数函数 / Matrix Exponential Function
泰勒级数展开 / Taylor Series Expansion
特征值分解 / Eigenvalue Decomposition
李雅普诺夫方程 / Lyapunov Equation
状态转移矩阵 / State Transition Matrix

主要性质

可逆性：若$A$与$B$可交换（即$AB=BA$），则$e^{A+B}=e^A e^B$（来源：Horn & Johnson《矩阵分析》）
微分特性：$frac{d}{dt}e^{tA} = A e^{tA}$，常用于求解线性微分方程组$frac{dx}{dt}=Ax$（来源：MIT OpenCourseWare）
谱映射定理：若$A$的特征值为$lambda_i$，则$e^{A}$的特征值为$e^{lambda_i}$（来源：Caltech线性代数讲义）

计算方法

若$A$可对角化为$PDP^{-1}$，则$e^A = P e^D P^{-1}$
若$A$含Jordan块，可通过分块对角化计算（来源：MathWorld）
数值算法：Padé逼近或Krylov子空间法（来源：NA Digest期刊）

应用场景

在控制系统分析中，矩阵指数用于描述状态方程的解；在量子力学中，其幺正性质保证概率守恒（来源：IEEE Xplore）。

网络扩展解释

矩阵指数函数（Matrix Exponential）是标量指数函数在矩阵上的推广，广泛应用于微分方程、量子力学、控制系统等领域。以下是其核心概念和性质的详细解释：

1. 定义

矩阵指数函数定义为无穷级数： $$ e^{A} = I + A + frac{A}{2!} + frac{A}{3!} + cdots $$ 其中：

( A ) 是 ( n times n ) 方阵，
( I ) 是同维单位矩阵，
级数对任意方阵均收敛。

2. 核心性质

可交换性：若 ( AB = BA )，则 ( e^{A+B} = e^A e^B )；否则不成立。
逆矩阵：( e^{-A} = (e^A)^{-1} )，即矩阵指数的逆是其负指数的指数。
导数性质：对时间相关矩阵 ( A(t) )，若 ( A(t) ) 与 ( int_0^t A(tau) dtau ) 可交换，则 ( frac{d}{dt} e^{A(t)} = A'(t) e^{A(t)} )。

3. 计算方法

泰勒展开法：直接按定义计算有限项（适用于简单矩阵）。
对角化法：若 ( A ) 可对角化为 ( PDP^{-1} )，则 ( e^A = P e^D P^{-1} )，其中 ( e^D ) 是对角矩阵，元素为对角元的指数。
若尔当标准型：对不可对角化矩阵，分解为若尔当块后分别计算。
拉普拉斯变换：通过 ( e^{At} = mathcal{L}^{-1}{(sI - A)^{-1}} ) 求解。

4. 应用场景

微分方程解：线性系统 ( frac{dx}{dt} = Ax ) 的解为 ( x(t) = e^{At} x(0) )。
量子力学：描述时间演化算符 ( e^{-iHt} )（( H ) 为哈密顿量）。
机器人学：用于刚体运动的姿态表示（如旋转矩阵的指数形式）。

5. 示例

若 ( A = begin{bmatrix} 0 & -thetatheta & 0 end{bmatrix} )，则： $$ e^A = begin{bmatrix} costheta & -sinthetasintheta & costheta end{bmatrix} $$ 这表示二维旋转矩阵，展示了矩阵指数在几何变换中的作用。

矩阵指数函数通过将线性代数与微积分结合，为复杂系统提供了简洁的数学描述工具。如需进一步了解数值计算或特定案例，可参考线性代数或微分方程教材。