矩陣指數函數英文解釋翻譯、矩陣指數函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix exponential function

分詞翻譯：

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

指數函數的英語翻譯：

【計】 exponential function
【經】 exponential function

專業解析

矩陣指數函數（Matrix Exponential Function）是線性代數中擴展标量指數函數到矩陣空間的核心工具，定義為對于任意$n times n$方陣$A$，其指數表達式可表示為： $$ e^{A} = sum_{k=0}^{infty} frac{A^k}{k!} $$ 其中$A^k$表示矩陣的$k$次幂，$A^0$為單位矩陣。這一概念在微分方程、量子力學和控制理論中有廣泛應用。

漢英對照關鍵術語

矩陣指數函數 / Matrix Exponential Function
泰勒級數展開 / Taylor Series Expansion
特征值分解 / Eigenvalue Decomposition
李雅普諾夫方程 / Lyapunov Equation
狀态轉移矩陣 / State Transition Matrix

主要性質

可逆性：若$A$與$B$可交換（即$AB=BA$），則$e^{A+B}=e^A e^B$（來源：Horn & Johnson《矩陣分析》）
微分特性：$frac{d}{dt}e^{tA} = A e^{tA}$，常用于求解線性微分方程組$frac{dx}{dt}=Ax$（來源：MIT OpenCourseWare）
譜映射定理：若$A$的特征值為$lambda_i$，則$e^{A}$的特征值為$e^{lambda_i}$（來源：Caltech線性代數講義）

計算方法

若$A$可對角化為$PDP^{-1}$，則$e^A = P e^D P^{-1}$
若$A$含Jordan塊，可通過分塊對角化計算（來源：MathWorld）
數值算法：Padé逼近或Krylov子空間法（來源：NA Digest期刊）

應用場景

在控制系統分析中，矩陣指數用于描述狀态方程的解；在量子力學中，其幺正性質保證概率守恒（來源：IEEE Xplore）。

網絡擴展解釋

矩陣指數函數（Matrix Exponential）是标量指數函數在矩陣上的推廣，廣泛應用于微分方程、量子力學、控制系統等領域。以下是其核心概念和性質的詳細解釋：

1. 定義

矩陣指數函數定義為無窮級數： $$ e^{A} = I + A + frac{A}{2!} + frac{A}{3!} + cdots $$ 其中：

( A ) 是 ( n times n ) 方陣，
( I ) 是同維單位矩陣，
級數對任意方陣均收斂。

2. 核心性質

可交換性：若 ( AB = BA )，則 ( e^{A+B} = e^A e^B )；否則不成立。
逆矩陣：( e^{-A} = (e^A)^{-1} )，即矩陣指數的逆是其負指數的指數。
導數性質：對時間相關矩陣 ( A(t) )，若 ( A(t) ) 與 ( int_0^t A(tau) dtau ) 可交換，則 ( frac{d}{dt} e^{A(t)} = A'(t) e^{A(t)} )。

3. 計算方法

泰勒展開法：直接按定義計算有限項（適用于簡單矩陣）。
對角化法：若 ( A ) 可對角化為 ( PDP^{-1} )，則 ( e^A = P e^D P^{-1} )，其中 ( e^D ) 是對角矩陣，元素為對角元的指數。
若爾當标準型：對不可對角化矩陣，分解為若爾當塊後分别計算。
拉普拉斯變換：通過 ( e^{At} = mathcal{L}^{-1}{(sI - A)^{-1}} ) 求解。

4. 應用場景

微分方程解：線性系統 ( frac{dx}{dt} = Ax ) 的解為 ( x(t) = e^{At} x(0) )。
量子力學：描述時間演化算符 ( e^{-iHt} )（( H ) 為哈密頓量）。
機器人學：用于剛體運動的姿态表示（如旋轉矩陣的指數形式）。

5. 示例

若 ( A = begin{bmatrix} 0 & -thetatheta & 0 end{bmatrix} )，則： $$ e^A = begin{bmatrix} costheta & -sinthetasintheta & costheta end{bmatrix} $$ 這表示二維旋轉矩陣，展示了矩陣指數在幾何變換中的作用。

矩陣指數函數通過将線性代數與微積分結合，為複雜系統提供了簡潔的數學描述工具。如需進一步了解數值計算或特定案例，可參考線性代數或微分方程教材。