代数数系统英文解释翻译、代数数系统的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 algebraic number system

分词翻译：

代的英语翻译：

era; generation; take the place of
【电】 generation

数数的英语翻译：

count; reckon; spillikin

系统的英语翻译：

system; scheme
【计】 system
【化】 system
【医】 system; systema
【经】 channel; system

专业解析

代数数系统（Algebraic Number System）指由代数数构成的集合及其上的运算结构。代数数是指满足整系数多项式方程（非零）的复数，即若存在多项式 ( p(x) = a_n x^n + cdots + a_0 )（( a_i in mathbb{Z} )，且 ( a_n eq 0 )），使得 ( p(alpha) = 0 )，则 ( alpha ) 为代数数。代数数系统具有以下核心特性：

代数数的定义与性质
代数数包含所有有理数（例如 ( sqrt{2} ) 满足 ( x - 2 = 0 )），但不包含超越数（如 ( pi, e )）。其集合构成一个域（field），即对加、减、乘、除（非零元）封闭。
代数整数与数环
若代数数满足首一多项式方程（最高次项系数为1），则称为代数整数（如 ( frac{1+sqrt{-3}}{2} ) 满足 ( x - x + 1 = 0 )）。代数整数构成一个环（ring），是代数数域的子结构。
系统结构与应用
代数数系统为代数数论的核心对象，用于研究数域的代数扩张、理想分解（如费马大定理的证明依赖该理论）及丢番图方程求解。其可数性与超越数的不可数性形成对比（康托尔定理）。

术语汉英对照

代数数: Algebraic number
代数整数: Algebraic integer
超越数: Transcendental number
整系数多项式: Polynomial with integer coefficients
域/环: Field/Ring

参考资料

《数学百科全书》(Encyclopedia of Mathematics), Springer, "Algebraic Number"条目.
Lang, S. Algebraic Number Theory, Springer.
Baker, A. Transcendental Number Theory, Cambridge University Press.

网络扩展解释

代数数系统是数学中研究代数数及其结构的重要概念。以下从定义、性质、结构层次和应用四个方面详细解释：

1. 定义代数数指满足非零整系数多项式方程的数，即存在多项式： $$ P(x) = anx^n + a{n-1}x^{n-1} + cdots + a_0 quad (a_i in mathbb{Z}, a_n eq 0) $$ 使得$P(alpha) = 0$。例如：

$sqrt{2}$满足$x-2=0$
黄金分割比$(1+sqrt{5})/2$满足$x-x-1=0$

2. 基本性质代数数集合具有以下特性： (1) 对四则运算封闭：任意两个代数数的和、差、积、商（除数非零）仍是代数数 (2) 可数无穷集：与自然数存在一一对应关系 (3) 包含所有有理数：有理数$p/q$总满足$qx-p=0$

3. 结构层次代数数系统形成分层结构：

代数数域：全体代数数构成域，记作$overline{mathbb{Q}}$，是复数域$mathbb{C}$的子域
代数整数环：满足首一多项式方程的代数数构成环，如$sqrt{2}$是代数整数（满足$x-2=0$）
数域：有限次代数扩张形成的中间结构，如二次域$mathbb{Q}(sqrt{d})$

4. 数学应用 (1) 数论研究：代数数域中的理想类群、单位群等结构 (2) 方程求解：五次及以上方程不可根式解的理论基础 (3) 密码学：椭圆曲线密码体制中的代数数域运算 (4) 物理应用：量子力学中的代数方法，如李代数表示

对比超越数：不是代数数的复数称为超越数（如$pi,e$），其系统具有不可数性、更复杂的分析性质。代数数系统与超越数系统共同构成复数域的完整分类。