英语翻译：

【计】 limit cycle
【化】 limit cycle

分词翻译：

极限的英语翻译：

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

环的英语翻译：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【计】 ring up; toroid
【化】 ring
【医】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

专业解析

在非线性动力学系统中，"极限环"（limit cycle）指系统状态变量随时间演化形成的孤立闭合轨迹，代表自持振荡的周期解。该概念由法国数学家亨利·庞加莱在1881年研究天体力学三体问题时首次提出，后成为分析非线性振荡现象的核心工具。

数学表达式可表示为二维系统： $$ dot{x} = P(x,y) dot{y} = Q(x,y) $$ 当存在满足$oint (P,dy - Q,dx) eq 0$的闭合积分曲线时，即构成极限环（引自《非线性系统》第三版，Khalil, H.K.）。其稳定性通过庞加莱映射特征值判定：若特征值模长均小于1则为稳定极限环。

工程应用包括：

1. 电力系统振荡抑制（IEEE Trans. Power Systems论文）
2. 生物神经元节律建模（《生物数学原理》Springer专著）
3. 机械转子涡动分析（ASME Journal of Vibration and Acoustics）

最新实验验证显示，极限环在忆阻器电路中可产生纳米级低功耗振荡器（Nature Electronics, 2023）。该现象与李雅普诺夫指数计算存在定量对应关系，具体判据可参考《分岔理论导论》（Hassard, B.D. 著）。

网络扩展解释

极限环是非线性动力系统中的重要概念，用于描述系统的周期性行为。以下从定义、分类、判定及实际意义等方面综合解释：

一、定义与数学描述

极限环是相空间中的孤立闭合轨道，对应系统的周期解。数学上可表示为： $$ gamma = {x(t) mid x(t+T) = x(t), forall t in mathbb{R}, T > 0} $$ 其中$T$为周期。其核心特征包括：

1. 孤立性：周围不存在其他闭合轨迹，区别于保守系统的连续周期解族；
2. 自持性：振幅和频率由系统参数决定，而非初始条件。

二、分类与稳定性

根据邻近轨迹的收敛性分为三类：

1. 稳定极限环：扰动后轨迹会渐近回归，如呼吸频率的自然恢复；
2. 不稳定极限环：扰动导致轨迹远离，物理上不可实现；
3. 半稳定极限环：单侧收敛、另一侧发散，如特定非线性振子。

稳定性可通过李雅普诺夫函数分析，满足$dot{V}(x) = -W(x) + mu(x)$时系统趋于稳定环。

三、判定方法

1. 相平面法：寻找孤立的闭合相轨迹，如范德波尔方程中的自激振动环；
2. 变量计算法：通过参数$A$（轨迹长度）和$theta$（转角）验证$A times theta = C$的条件；
3. 分岔分析：参数变化导致极限环产生或消失，如Hopf分岔。

四、实际意义

1. 工程系统：解释钟摆、电子振荡器等自激振动现象；
2. 生物系统：描述心跳、神经脉冲等周期行为的稳定性；
3. 控制理论：抑制不稳定极限环可避免系统失控。

五、示例：范德波尔方程

方程$ddot{x} + mu(x-1)dot{x} + x = 0$（$mu>0$）存在稳定极限环，表现为振幅恒定的振荡，相轨迹从内外两侧螺旋逼近闭合环。

提示：极限环为非线性系统特有现象，线性系统即使有周期解也不会形成孤立闭合轨道。

分类

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

别人正在浏览...

阿马里耳氨系别构酶玻璃苣不动产布罗卡氏带策船运货合同扯断力称许稠度测量法初等矩阵磁黄橄榄岩非商业性质的卷成薄片居留的考验某人是否诚实口内咬合片髋腹间切断术卵磷脂样的面记录密度蓬蓬纳香草硼酸氢铵平均库存量钱德勒氏毡领夹伸线器双岬双列向心滚珠轴承随伴的铁锈色小孢子菌