極限環英文解釋翻譯、極限環的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 limit cycle
【化】 limit cycle

分詞翻譯：

極限的英語翻譯：

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

環的英語翻譯：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【計】 ring up; toroid
【化】 ring
【醫】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

專業解析

在非線性動力學系統中，"極限環"（limit cycle）指系統狀态變量隨時間演化形成的孤立閉合軌迹，代表自持振蕩的周期解。該概念由法國數學家亨利·龐加萊在1881年研究天體力學三體問題時首次提出，後成為分析非線性振蕩現象的核心工具。

數學表達式可表示為二維系統： $$ dot{x} = P(x,y) dot{y} = Q(x,y) $$ 當存在滿足$oint (P,dy - Q,dx) eq 0$的閉合積分曲線時，即構成極限環（引自《非線性系統》第三版，Khalil, H.K.）。其穩定性通過龐加萊映射特征值判定：若特征值模長均小于1則為穩定極限環。

工程應用包括：

電力系統振蕩抑制（IEEE Trans. Power Systems論文）
生物神經元節律建模（《生物數學原理》Springer專著）
機械轉子渦動分析（ASME Journal of Vibration and Acoustics）

最新實驗驗證顯示，極限環在憶阻器電路中可産生納米級低功耗振蕩器（Nature Electronics, 2023）。該現象與李雅普諾夫指數計算存在定量對應關系，具體判據可參考《分岔理論導論》（Hassard, B.D. 著）。

網絡擴展解釋

極限環是非線性動力系統中的重要概念，用于描述系統的周期性行為。以下從定義、分類、判定及實際意義等方面綜合解釋：

一、定義與數學描述

極限環是相空間中的孤立閉合軌道，對應系統的周期解。數學上可表示為： $$ gamma = {x(t) mid x(t+T) = x(t), forall t in mathbb{R}, T > 0} $$ 其中$T$為周期。其核心特征包括：

孤立性：周圍不存在其他閉合軌迹，區别于保守系統的連續周期解族；
自持性：振幅和頻率由系統參數決定，而非初始條件。

二、分類與穩定性

根據鄰近軌迹的收斂性分為三類：

穩定極限環：擾動後軌迹會漸近回歸，如呼吸頻率的自然恢複；
不穩定極限環：擾動導緻軌迹遠離，物理上不可實現；
半穩定極限環：單側收斂、另一側發散，如特定非線性振子。

穩定性可通過李雅普諾夫函數分析，滿足$dot{V}(x) = -W(x) + mu(x)$時系統趨于穩定環。

三、判定方法

相平面法：尋找孤立的閉合相軌迹，如範德波爾方程中的自激振動環；
變量計算法：通過參數$A$（軌迹長度）和$theta$（轉角）驗證$A times theta = C$的條件；
分岔分析：參數變化導緻極限環産生或消失，如Hopf分岔。

四、實際意義

工程系統：解釋鐘擺、電子振蕩器等自激振動現象；
生物系統：描述心跳、神經脈沖等周期行為的穩定性；
控制理論：抑制不穩定極限環可避免系統失控。

五、示例：範德波爾方程

方程$ddot{x} + mu(x-1)dot{x} + x = 0$（$mu>0$）存在穩定極限環，表現為振幅恒定的振蕩，相軌迹從内外兩側螺旋逼近閉合環。

提示：極限環為非線性系統特有現象，線性系統即使有周期解也不會形成孤立閉合軌道。