极限点英文解释翻译、极限点的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 limit point
【化】 limit(ing) point; stone wall limit

分词翻译：

极限的英语翻译：

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

点的英语翻译：

a little; dot; drop; feature; particle; point; spot
【计】 distributing point; dot; PT
【医】 point; puncta; punctum; spot
【经】 point; pt

专业解析

在数学分析中，极限点（limit point）指拓扑空间中的一个特殊点，其定义包含两个等价表述形式：

集合$S$的极限点$x$满足：对于$x$的任意邻域$U$，都至少存在一个属于$S$且不等于$x$的点，即$U cap (S setminus {x}) eq emptyset$；
存在由$S$中不同元素构成的序列${x_n}$，使得当$n to infty$时，$x_n to x$。

该概念在英语文献中常被称为"accumulation point"（聚点），但根据Walter Rudin的《数学分析原理》，这两个术语在实分析领域具有等价性。在拓扑学框架下，极限点的判定需要严格满足邻域定义条件，这与度量空间中的序列收敛性定义形成对照，如John L. Kelley的《General Topology》所述。

从汉英词典编纂视角，"极限点"对应英文术语存在细微差别：

在《新英汉数学词汇》中，"limit point"被规范为"极限点"；
而《数学名词》第二版则规定"accumulation point"对应"聚点"；这种术语差异源于不同数学学派对点集拓扑基本概念的理解分歧，具体可参考Springer出版的《Encyclopedia of Mathematics》词条说明。

该概念在以下领域具有关键应用价值：

实数集的完备性证明
函数连续性的拓扑定义
动力系统吸引子研究
复变函数孤立奇点分类相关应用案例可参见普林斯顿大学数学系公开课讲义《Real Analysis》中的教学实例。

网络扩展解释

极限点（或称聚点）是数学分析、拓扑学中的重要概念，用于描述集合中点的“聚集”特性。以下是详细解释：

定义

在拓扑空间中，点( x )称为集合( A )的极限点，当且仅当：

( x )的任意邻域内都包含至少一个属于( A )且不等于( x )自身的点。

数学表达为： $$ forall varepsilon > 0, quad big( B(x, varepsilon) setminus {x} big) cap A eq emptyset $$ 其中( B(x, varepsilon) )表示以( x )为中心、( varepsilon )为半径的邻域。

关键性质

与孤立点的区别
孤立点属于集合( A )，但存在某个邻域仅包含它自己，而极限点的所有邻域必须包含其他点。
例：集合( {0} cup)中，( 0 )是孤立点，而()内的每个点都是极限点。
闭包与闭集
集合的闭包等于其所有极限点与原集合的并集。若集合包含所有极限点，则它是闭集。
例：区间( (0,1) )的闭包是()，包含了原集合及其极限点( 0 )和( 1 )。
与内点、边界点的关系
- 内点：存在邻域完全包含于集合内；
- 边界点：每个邻域同时包含集合内外的点；
- 极限点可以是内点或边界点，但并非所有边界点都是极限点（如孤立点）。

实例分析

实数空间中的例子
- 集合( (0,1) )的每个点都是极限点，因为任意小的邻域内仍有其他点。
- 集合( {1/n mid n in mathbb{N}} )的极限点是( 0 )，尽管( 0 )不属于原集合。
离散空间的例子
在离散拓扑中，每个单点集的邻域仅包含自身，因此集合没有极限点。

应用场景

收敛序列：若序列的极限属于集合，则该极限是集合的极限点。
闭集判定：闭集需包含所有极限点，如闭区间( [a,b] )。
紧致性研究：极限点的存在性与集合的无限性质相关（如波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理）。

通过理解极限点，可以更深入地分析集合的拓扑结构和连续性。