極限點英文解釋翻譯、極限點的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 limit point
【化】 limit(ing) point; stone wall limit

分詞翻譯：

極限的英語翻譯：

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

點的英語翻譯：

a little; dot; drop; feature; particle; point; spot
【計】 distributing point; dot; PT
【醫】 point; puncta; punctum; spot
【經】 point; pt

專業解析

在數學分析中，極限點（limit point）指拓撲空間中的一個特殊點，其定義包含兩個等價表述形式：

集合$S$的極限點$x$滿足：對于$x$的任意鄰域$U$，都至少存在一個屬于$S$且不等于$x$的點，即$U cap (S setminus {x}) eq emptyset$；
存在由$S$中不同元素構成的序列${x_n}$，使得當$n to infty$時，$x_n to x$。

該概念在英語文獻中常被稱為"accumulation point"（聚點），但根據Walter Rudin的《數學分析原理》，這兩個術語在實分析領域具有等價性。在拓撲學框架下，極限點的判定需要嚴格滿足鄰域定義條件，這與度量空間中的序列收斂性定義形成對照，如John L. Kelley的《General Topology》所述。

從漢英詞典編纂視角，"極限點"對應英文術語存在細微差别：

在《新英漢數學詞彙》中，"limit point"被規範為"極限點"；
而《數學名詞》第二版則規定"accumulation point"對應"聚點"；這種術語差異源于不同數學學派對點集拓撲基本概念的理解分歧，具體可參考Springer出版的《Encyclopedia of Mathematics》詞條說明。

該概念在以下領域具有關鍵應用價值：

實數集的完備性證明
函數連續性的拓撲定義
動力系統吸引子研究
複變函數孤立奇點分類相關應用案例可參見普林斯頓大學數學系公開課講義《Real Analysis》中的教學實例。

網絡擴展解釋

極限點（或稱聚點）是數學分析、拓撲學中的重要概念，用于描述集合中點的“聚集”特性。以下是詳細解釋：

定義

在拓撲空間中，點( x )稱為集合( A )的極限點，當且僅當：

( x )的任意鄰域内都包含至少一個屬于( A )且不等于( x )自身的點。

數學表達為： $$ forall varepsilon > 0, quad big( B(x, varepsilon) setminus {x} big) cap A eq emptyset $$ 其中( B(x, varepsilon) )表示以( x )為中心、( varepsilon )為半徑的鄰域。

關鍵性質

與孤立點的區别
孤立點屬于集合( A )，但存在某個鄰域僅包含它自己，而極限點的所有鄰域必須包含其他點。
例：集合( {0} cup)中，( 0 )是孤立點，而()内的每個點都是極限點。
閉包與閉集
集合的閉包等于其所有極限點與原集合的并集。若集合包含所有極限點，則它是閉集。
例：區間( (0,1) )的閉包是()，包含了原集合及其極限點( 0 )和( 1 )。
與内點、邊界點的關系
- 内點：存在鄰域完全包含于集合内；
- 邊界點：每個鄰域同時包含集合内外的點；
- 極限點可以是内點或邊界點，但并非所有邊界點都是極限點（如孤立點）。

實例分析

實數空間中的例子
- 集合( (0,1) )的每個點都是極限點，因為任意小的鄰域内仍有其他點。
- 集合( {1/n mid n in mathbb{N}} )的極限點是( 0 )，盡管( 0 )不屬于原集合。
離散空間的例子
在離散拓撲中，每個單點集的鄰域僅包含自身，因此集合沒有極限點。

應用場景

收斂序列：若序列的極限屬于集合，則該極限是集合的極限點。
閉集判定：閉集需包含所有極限點，如閉區間( [a,b] )。
緊緻性研究：極限點的存在性與集合的無限性質相關（如波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理）。

通過理解極限點，可以更深入地分析集合的拓撲結構和連續性。