英语翻译：

【计】 divergence of series

相关词条：

1.divergenceofaseries  

分词翻译：

级数的英语翻译：

progression; series
【经】 progression

发散的英语翻译：

exhale; breathe; diverge; transpire
【化】 divergence

专业解析

在数学分析领域，"级数发散"（英文：divergent series）指无穷级数的部分和序列不具有有限极限的数学特性。具体而言，给定级数$sum_{n=1}^infty a_n$，若其前$N$项和$SN = sum{n=1}^N a_n$随$N$趋向无穷大时不能收敛到确定值，则该级数被判定为发散。

该概念最早由柯西在《分析教程》中系统阐述，其核心判别标准包括：

1. 比较判别法：若存在发散的正项级数$sum b_n$满足$|a_n| geq b_n$，则原级数发散
2. 根值判别法：当$limsup_{n→∞} sqrt[n]{|a_n|} > 1$时级数必发散
3. 积分判别法：当关联函数$f(x)$在$[1,∞)$非负递减时，若积分$int_1^∞ f(x)dx$发散则级数发散

典型示例是调和级数$sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$，其发散性可通过积分判别法证明。在应用数学领域，发散级数仍具有研究价值，如量子场论中的渐近级数（参考：NIST《数学函数手册》第3.2章）。

该术语对应《英汉数学词汇》标准译法，在《数学分析新讲》（张筑生著）第2册第7章有详细论证，同时可参考Springer《Encyclopedia of Mathematics》"Divergent series"词条的理论框架。

网络扩展解释

级数发散是数学分析中的一个重要概念，指无穷级数的部分和序列不趋于有限极限的情况。具体解释如下：

一、基本定义

无穷级数指形如 $sum_{n=1}^infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + cdots$ 的表达式。若其部分和 $SN = sum{n=1}^N a_n$ 当 $N to infty$ 时没有有限极限，则称该级数发散。

二、发散类型

1. 趋向无穷型
   部分和趋于正无穷或负无穷，如 $sum_{n=1}^infty n = 1+2+3+cdots$
2. 振荡型
   部分和在多个值间震荡，如 $sum_{n=1}^infty (-1)^n = -1+1-1+1-cdots$
3. 无规律型
   部分和既无固定趋势也不震荡，如某些随机数列构成的级数

三、判断方法

• n项检验法：若 $lim_{n to infty} a_n eq 0$，则级数必发散（但 $lim a_n=0$ 时级数可能仍发散，如调和级数 $sum 1/n$）
• 比较判别法：若存在发散的正项级数作为下界
• 积分判别法：对应积分发散时级数也发散

四、典型例子

• 调和级数 $sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$ 发散
• 几何级数 $sum_{n=0}^infty r^n$ 当 $|r| geq 1$ 时发散
• 交错级数 $sum_{n=1}^infty (-1)^n n$ 发散

发散级数在常规意义下没有和，但在渐近分析、发散级数求和理论中有特殊应用价值。判断级数是否发散是分析其性质的首要步骤。

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