英語翻譯：

【計】 divergence of series

相關詞條：

1.divergenceofaseries  

分詞翻譯：

級數的英語翻譯：

progression; series
【經】 progression

發散的英語翻譯：

exhale; breathe; diverge; transpire
【化】 divergence

專業解析

在數學分析領域，"級數發散"（英文：divergent series）指無窮級數的部分和序列不具有有限極限的數學特性。具體而言，給定級數$sum_{n=1}^infty a_n$，若其前$N$項和$SN = sum{n=1}^N a_n$隨$N$趨向無窮大時不能收斂到确定值，則該級數被判定為發散。

該概念最早由柯西在《分析教程》中系統闡述，其核心判别标準包括：

1. 比較判别法：若存在發散的正項級數$sum b_n$滿足$|a_n| geq b_n$，則原級數發散
2. 根值判别法：當$limsup_{n→∞} sqrt[n]{|a_n|} > 1$時級數必發散
3. 積分判别法：當關聯函數$f(x)$在$[1,∞)$非負遞減時，若積分$int_1^∞ f(x)dx$發散則級數發散

典型示例是調和級數$sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$，其發散性可通過積分判别法證明。在應用數學領域，發散級數仍具有研究價值，如量子場論中的漸近級數（參考：NIST《數學函數手冊》第3.2章）。

該術語對應《英漢數學詞彙》标準譯法，在《數學分析新講》（張築生著）第2冊第7章有詳細論證，同時可參考Springer《Encyclopedia of Mathematics》"Divergent series"詞條的理論框架。

網絡擴展解釋

級數發散是數學分析中的一個重要概念，指無窮級數的部分和序列不趨于有限極限的情況。具體解釋如下：

一、基本定義

無窮級數指形如 $sum_{n=1}^infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + cdots$ 的表達式。若其部分和 $SN = sum{n=1}^N a_n$ 當 $N to infty$ 時沒有有限極限，則稱該級數發散。

二、發散類型

1. 趨向無窮型
   部分和趨于正無窮或負無窮，如 $sum_{n=1}^infty n = 1+2+3+cdots$
2. 振蕩型
   部分和在多個值間震蕩，如 $sum_{n=1}^infty (-1)^n = -1+1-1+1-cdots$
3. 無規律型
   部分和既無固定趨勢也不震蕩，如某些隨機數列構成的級數

三、判斷方法

• n項檢驗法：若 $lim_{n to infty} a_n eq 0$，則級數必發散（但 $lim a_n=0$ 時級數可能仍發散，如調和級數 $sum 1/n$）
• 比較判别法：若存在發散的正項級數作為下界
• 積分判别法：對應積分發散時級數也發散

四、典型例子

• 調和級數 $sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$ 發散
• 幾何級數 $sum_{n=0}^infty r^n$ 當 $|r| geq 1$ 時發散
• 交錯級數 $sum_{n=1}^infty (-1)^n n$ 發散

發散級數在常規意義下沒有和，但在漸近分析、發散級數求和理論中有特殊應用價值。判斷級數是否發散是分析其性質的首要步驟。

分類

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