几率密度英文解释翻译、几率密度的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 density of probability

分词翻译：

几率的英语翻译：

odds; probability
【化】 probability

密度的英语翻译：

density; thickness
【化】 density
【医】 density

专业解析

在概率论与统计学中，几率密度（Probability Density），更常被称为概率密度，是描述连续型随机变量概率分布特征的核心概念。其英文对应术语为Probability Density。

基本定义与数学本质：
- 对于一个连续型随机变量 (X)，其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）通常记作 (f(x))。
- (f(x)) 本身不是概率值。概率密度函数 (f(x)) 在任意单一点 (x) 上的值并不直接代表 (X) 取该点值的概率（对于连续变量，取任意特定值的概率为零）。
- (f(x)) 的作用在于通过积分来给出 (X) 落在某个区间内的概率。具体来说，随机变量 (X) 取值在区间 ([a, b]) 内的概率等于其概率密度函数 (f(x)) 在该区间上的积分： $$ P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx $$
- 概率密度函数必须满足两个基本性质：
  1. 非负性：对所有 (x)，(f(x) geq 0)。
  2. 归一性：在整个定义域上的积分等于 1，即 (int_{-infty}^{infty} f(x) , dx = 1)。这表示随机变量取所有可能值的总概率为 1。
物理意义与理解：
- 可以将概率密度 (f(x)) 理解为描述随机变量取值在 (x) 附近“密集程度”或“可能性大小”的函数。在 (x) 点附近一个非常小的区间 ([x, x + dx]) 内，(X) 落在此区间的概率近似为 (f(x) , dx)。
- 概率密度值大的地方，表示随机变量在该点附近取值的可能性相对较高；概率密度值小的地方，表示可能性相对较低。曲线 (y = f(x)) 下的面积直观地代表了概率。
与概率质量函数的区别：
- 需要特别注意“概率密度”与离散型随机变量的“概率质量”（Probability Mass）之间的区别。
- 离散型随机变量的概率分布由概率质量函数描述，它直接给出随机变量取每一个可能离散值的概率（这些概率值在 0 到 1 之间，且所有概率之和为 1）。
- 连续型随机变量的概率密度函数描述的是概率在连续区间上的分布密度，其函数值本身可以大于 1（只要其积分面积为 1），它需要通过积分来计算落在区间内的概率。
应用与重要性：
- 概率密度函数是定义和描述连续型随机变量分布的核心工具，如正态分布（高斯分布）、均匀分布、指数分布等都有其特定的概率密度函数形式。
- 它用于计算随机变量的各种数字特征，如期望值（均值）、方差等。
- 在物理学（如量子力学中的波函数模平方代表概率密度）、工程学（信号处理、可靠性分析）、金融学（风险管理）等领域有广泛应用。

需注意的关键点：

“几率密度”与“概率”：在日常语言中，“几率”常作为“概率”的同义词使用。因此，“几率密度”在绝大多数专业语境下等同于“概率密度”。但在更严格的数学表述中，“概率密度”是标准术语。
值域：概率密度函数 (f(x)) 的值可以大于 1，只要其在定义域上的积分（总面积）等于 1 即可。例如，定义在区间 [0, 0.5] 上的均匀分布，其概率密度函数值为 2（因为 ( int_{0}^{0.5} 2 , dx = 1 )）。

来源参考：

Khan Academy: 提供概率密度函数基础概念的清晰解释和可视化。来源：可汗学院 (Khan Academy) 概率与统计课程。
MIT OpenCourseWare: 在其概率论课程材料中对连续随机变量和概率密度函数有严谨的数学定义和推导。来源：麻省理工学院开放式课程 (MIT OpenCourseWare)。
Wolfram MathWorld: 提供概率密度函数（Probability Density Function）的数学定义、性质和示例。来源：Wolfram MathWorld 数学百科全书。
NIST Engineering Statistics Handbook: 美国国家标准与技术研究院（NIST）的工程统计学手册对概率密度函数及其应用有权威性阐述。来源：NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods。

网络扩展解释

几率密度（Probability Density），也称为概率密度函数（Probability Density Function, PDF），是概率论中用于描述连续型随机变量概率分布的核心概念。以下是详细解释：

1.基本定义

几率密度函数表示随机变量在某个特定值附近的概率“密集程度”。对于连续型随机变量，单个点的概率为0，只有区间内的概率有意义。概率密度函数需满足：

非负性：$f(x) geq 0$ 对所有$x$成立。
积分归一性：$int_{-infty}^{infty} f(x) , dx = 1$。

2.与概率的关系

随机变量$X$落在区间$[a, b]$内的概率为： $$ P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx $$
概率密度本身不是概率，但积分后得到概率。

3.常见例子

正态分布：密度函数为钟形曲线，公式： $$ f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} $$
均匀分布：密度在区间$[a, b]$内为常数$frac{1}{b-a}$，其他区域为0。

4.与累积分布函数（CDF）的联系

CDF是PDF的积分：$F(x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt$；
PDF是CDF的导数：$f(x) = frac{d}{dx} F(x)$。

5.实际应用

在物理学中，量子力学的波函数模平方即为概率密度，描述粒子位置的可能分布；
在工程和统计学中，用于建模噪声、测量误差等连续现象。

几率密度函数是分析连续型随机变量的关键工具，通过积分可计算事件发生的概率，但其本身需通过密度而非直接概率值来理解。