幾率密度英文解釋翻譯、幾率密度的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 density of probability

分詞翻譯：

幾率的英語翻譯：

odds; probability
【化】 probability

密度的英語翻譯：

density; thickness
【化】 density
【醫】 density

專業解析

在概率論與統計學中，幾率密度（Probability Density），更常被稱為概率密度，是描述連續型隨機變量概率分布特征的核心概念。其英文對應術語為Probability Density。

基本定義與數學本質：
- 對于一個連續型隨機變量 (X)，其概率密度函數（Probability Density Function, PDF）通常記作 (f(x))。
- (f(x)) 本身不是概率值。概率密度函數 (f(x)) 在任意單一點 (x) 上的值并不直接代表 (X) 取該點值的概率（對于連續變量，取任意特定值的概率為零）。
- (f(x)) 的作用在于通過積分來給出 (X) 落在某個區間内的概率。具體來說，隨機變量 (X) 取值在區間 ([a, b]) 内的概率等于其概率密度函數 (f(x)) 在該區間上的積分： $$ P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx $$
- 概率密度函數必須滿足兩個基本性質：
  1. 非負性：對所有 (x)，(f(x) geq 0)。
  2. 歸一性：在整個定義域上的積分等于 1，即 (int_{-infty}^{infty} f(x) , dx = 1)。這表示隨機變量取所有可能值的總概率為 1。
物理意義與理解：
- 可以将概率密度 (f(x)) 理解為描述隨機變量取值在 (x) 附近“密集程度”或“可能性大小”的函數。在 (x) 點附近一個非常小的區間 ([x, x + dx]) 内，(X) 落在此區間的概率近似為 (f(x) , dx)。
- 概率密度值大的地方，表示隨機變量在該點附近取值的可能性相對較高；概率密度值小的地方，表示可能性相對較低。曲線 (y = f(x)) 下的面積直觀地代表了概率。
與概率質量函數的區别：
- 需要特别注意“概率密度”與離散型隨機變量的“概率質量”（Probability Mass）之間的區别。
- 離散型隨機變量的概率分布由概率質量函數描述，它直接給出隨機變量取每一個可能離散值的概率（這些概率值在 0 到 1 之間，且所有概率之和為 1）。
- 連續型隨機變量的概率密度函數描述的是概率在連續區間上的分布密度，其函數值本身可以大于 1（隻要其積分面積為 1），它需要通過積分來計算落在區間内的概率。
應用與重要性：
- 概率密度函數是定義和描述連續型隨機變量分布的核心工具，如正态分布（高斯分布）、均勻分布、指數分布等都有其特定的概率密度函數形式。
- 它用于計算隨機變量的各種數字特征，如期望值（均值）、方差等。
- 在物理學（如量子力學中的波函數模平方代表概率密度）、工程學（信號處理、可靠性分析）、金融學（風險管理）等領域有廣泛應用。

需注意的關鍵點：

“幾率密度”與“概率”：在日常語言中，“幾率”常作為“概率”的同義詞使用。因此，“幾率密度”在絕大多數專業語境下等同于“概率密度”。但在更嚴格的數學表述中，“概率密度”是标準術語。
值域：概率密度函數 (f(x)) 的值可以大于 1，隻要其在定義域上的積分（總面積）等于 1 即可。例如，定義在區間 [0, 0.5] 上的均勻分布，其概率密度函數值為 2（因為 ( int_{0}^{0.5} 2 , dx = 1 )）。

來源參考：

Khan Academy: 提供概率密度函數基礎概念的清晰解釋和可視化。來源：可汗學院 (Khan Academy) 概率與統計課程。
MIT OpenCourseWare: 在其概率論課程材料中對連續隨機變量和概率密度函數有嚴謹的數學定義和推導。來源：麻省理工學院開放式課程 (MIT OpenCourseWare)。
Wolfram MathWorld: 提供概率密度函數（Probability Density Function）的數學定義、性質和示例。來源：Wolfram MathWorld 數學百科全書。
NIST Engineering Statistics Handbook: 美國國家标準與技術研究院（NIST）的工程統計學手冊對概率密度函數及其應用有權威性闡述。來源：NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods。

網絡擴展解釋

幾率密度（Probability Density），也稱為概率密度函數（Probability Density Function, PDF），是概率論中用于描述連續型隨機變量概率分布的核心概念。以下是詳細解釋：

1.基本定義

幾率密度函數表示隨機變量在某個特定值附近的概率“密集程度”。對于連續型隨機變量，單個點的概率為0，隻有區間内的概率有意義。概率密度函數需滿足：

非負性：$f(x) geq 0$ 對所有$x$成立。
積分歸一性：$int_{-infty}^{infty} f(x) , dx = 1$。

2.與概率的關系

隨機變量$X$落在區間$[a, b]$内的概率為： $$ P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx $$
概率密度本身不是概率，但積分後得到概率。

3.常見例子

正态分布：密度函數為鐘形曲線，公式： $$ f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} $$
均勻分布：密度在區間$[a, b]$内為常數$frac{1}{b-a}$，其他區域為0。

4.與累積分布函數（CDF）的聯繫

CDF是PDF的積分：$F(x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt$；
PDF是CDF的導數：$f(x) = frac{d}{dx} F(x)$。

5.實際應用

在物理學中，量子力學的波函數模平方即為概率密度，描述粒子位置的可能分布；
在工程和統計學中，用于建模噪聲、測量誤差等連續現象。

幾率密度函數是分析連續型隨機變量的關鍵工具，通過積分可計算事件發生的概率，但其本身需通過密度而非直接概率值來理解。