连带勒让德函数英文解释翻译、连带勒让德函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 associated Lagendre function

分词翻译：

连的英语翻译：

company; connect; join; link; even; in succession; including
【医】 sym-; syn-

带的英语翻译：

belt; bring; strap; strip; take; wear
【计】 tape
【化】 band
【医】 balteum; band; belt; chord; chorda; chordae; chordo-; cingule; cingulum
cord; desmo-; girdle; ribbon; strap; strip; taenia; taenia-; taeniae
tape; teni-; tenia; zona; zone
【经】 belt

勒让德函数的英语翻译：

【计】 Legendre function

专业解析

连带勒让德函数（Associated Legendre Functions）是数学物理方程中一类重要的特殊函数，定义为勒让德多项式（Legendre Polynomials）的推广形式。其标准表达式为： $$ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{d^m}{dx^m} P_l(x) $$ 其中$P_l(x)$为勒让德多项式，$l$为整数阶数，$m$为连带阶数（满足$0 leq m leq l$），自变量$x$在区间$[-1,1]$内变化。

该函数在球坐标系分离变量法中具有核心作用，特别是与球谐函数（Spherical Harmonics）结合时，可完整描述三维空间中的角向分布模式。其应用场景包括：

量子力学中的氢原子波函数角向分量
地球重力场模型中的位场展开
电磁场多极辐射理论
大气科学中的球面谐波分析

与普通勒让德多项式的主要区别在于连带勒让德函数引入了$(1-x)^{m/2}$因子和$m$阶导数运算，这使得它能表征更复杂的角动量分布状态。当$m=0$时，连带勒让德函数退化为标准勒让德多项式。

参数$l$和$m$分别对应物理系统中的角量子数和磁量子数。函数满足正交性关系： $$ int_{-1} P_k^m(x) Pl^m(x) dx = frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} delta{kl} $$ 这一性质使其成为希尔伯特空间中的正交基底函数。

网络扩展解释

连带勒让德函数是数学物理方程中的重要概念，主要应用于球坐标系下偏微分方程的求解。以下从定义、数学形式、性质及关联性等方面进行综合解释：

1.定义与来源

连带勒让德函数是连带勒让德方程的解，该方程源于球坐标系中拉普拉斯方程分离变量后的角度部分方程。当问题不具备绕极轴的旋转对称性时，方程形式为： $$ (1-x)frac{dy}{dx} - 2xfrac{dy}{dx} + left[ l(l+1) - frac{m}{1-x} right]y = 0 $$ 其中 ( x = costheta )（(theta)为极角），( l )和( m )为分离变量引入的常数，满足 ( |m| leq l )且为整数。

2.数学表达式

连带勒让德函数通常表示为： $$ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{d^m}{dx^m} P_l(x) $$ 其中 ( P_l(x) ) 是勒让德多项式，通过对其求( m )阶导数并乘以权重因子得到。当 ( m=0 ) 时，退化为普通勒让德多项式 ( P_l(x) )。

3.关键性质

正交性：在区间 ([-1,1]) 上，不同阶数的函数满足正交关系： $$ int_{-1} Pl^m(x) P{l'}^m(x) dx = frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} delta_{ll'} $$ 这一性质在广义傅里叶级数展开中至关重要。
模值：其模的平方为 ( frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} )，用于归一化处理。

4.物理应用

主要应用于电磁学、量子力学（如氢原子波函数的角向部分）和流体力学等领域。例如，在量子力学中，( l )和( m )分别对应角动量量子数和磁量子数，描述电子轨道的空间分布。

5.术语解释

“连带”（Associated）一词源于英文直译，表示该方程是勒让德方程的推广形式，通过引入参数( m )扩展了原方程的应用范围。其他常见译法包括“伴随”或“缔合”。

参考资料

定义与方程形式：
表达式与性质：
术语解释：