連帶勒讓德函數英文解釋翻譯、連帶勒讓德函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 associated Lagendre function

分詞翻譯：

連的英語翻譯：

company; connect; join; link; even; in succession; including
【醫】 sym-; syn-

帶的英語翻譯：

belt; bring; strap; strip; take; wear
【計】 tape
【化】 band
【醫】 balteum; band; belt; chord; chorda; chordae; chordo-; cingule; cingulum
cord; desmo-; girdle; ribbon; strap; strip; taenia; taenia-; taeniae
tape; teni-; tenia; zona; zone
【經】 belt

勒讓德函數的英語翻譯：

【計】 Legendre function

專業解析

連帶勒讓德函數（Associated Legendre Functions）是數學物理方程中一類重要的特殊函數，定義為勒讓德多項式（Legendre Polynomials）的推廣形式。其标準表達式為： $$ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{d^m}{dx^m} P_l(x) $$ 其中$P_l(x)$為勒讓德多項式，$l$為整數階數，$m$為連帶階數（滿足$0 leq m leq l$），自變量$x$在區間$[-1,1]$内變化。

該函數在球坐标系分離變量法中具有核心作用，特别是與球諧函數（Spherical Harmonics）結合時，可完整描述三維空間中的角向分布模式。其應用場景包括：

量子力學中的氫原子波函數角向分量
地球重力場模型中的位場展開
電磁場多極輻射理論
大氣科學中的球面諧波分析

與普通勒讓德多項式的主要區别在于連帶勒讓德函數引入了$(1-x)^{m/2}$因子和$m$階導數運算，這使得它能表征更複雜的角動量分布狀态。當$m=0$時，連帶勒讓德函數退化為标準勒讓德多項式。

參數$l$和$m$分别對應物理系統中的角量子數和磁量子數。函數滿足正交性關系： $$ int_{-1} P_k^m(x) Pl^m(x) dx = frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} delta{kl} $$ 這一性質使其成為希爾伯特空間中的正交基底函數。

網絡擴展解釋

連帶勒讓德函數是數學物理方程中的重要概念，主要應用于球坐标系下偏微分方程的求解。以下從定義、數學形式、性質及關聯性等方面進行綜合解釋：

1.定義與來源

連帶勒讓德函數是連帶勒讓德方程的解，該方程源于球坐标系中拉普拉斯方程分離變量後的角度部分方程。當問題不具備繞極軸的旋轉對稱性時，方程形式為： $$ (1-x)frac{dy}{dx} - 2xfrac{dy}{dx} + left[ l(l+1) - frac{m}{1-x} right]y = 0 $$ 其中 ( x = costheta )（(theta)為極角），( l )和( m )為分離變量引入的常數，滿足 ( |m| leq l )且為整數。

2.數學表達式

連帶勒讓德函數通常表示為： $$ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{d^m}{dx^m} P_l(x) $$ 其中 ( P_l(x) ) 是勒讓德多項式，通過對其求( m )階導數并乘以權重因子得到。當 ( m=0 ) 時，退化為普通勒讓德多項式 ( P_l(x) )。

3.關鍵性質

正交性：在區間 ([-1,1]) 上，不同階數的函數滿足正交關系： $$ int_{-1} Pl^m(x) P{l'}^m(x) dx = frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} delta_{ll'} $$ 這一性質在廣義傅裡葉級數展開中至關重要。
模值：其模的平方為 ( frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} )，用于歸一化處理。

4.物理應用

主要應用于電磁學、量子力學（如氫原子波函數的角向部分）和流體力學等領域。例如，在量子力學中，( l )和( m )分别對應角動量量子數和磁量子數，描述電子軌道的空間分布。

5.術語解釋

“連帶”（Associated）一詞源于英文直譯，表示該方程是勒讓德方程的推廣形式，通過引入參數( m )擴展了原方程的應用範圍。其他常見譯法包括“伴隨”或“締合”。

參考資料

定義與方程形式：
表達式與性質：
術語解釋：