群计数法英文解释翻译、群计数法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 group counting method

分词翻译：

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

计数法的英语翻译：

【计】 counting process
【经】 notation

专业解析

群计数法（Group Counting Method）是组合数学与群论交叉领域中的一种计数技术，主要用于解决具有对称性结构的复杂排列组合问题。其核心思想是通过群作用（group action）将对称性转化为等价类划分，从而减少重复计算并提高效率。在汉英词典中，该术语可译为“Group Counting Method”或“Orbit-Stabilizer Counting Technique”。

1.理论基础

群计数法基于群论中的轨道-稳定化子定理（Orbit-Stabilizer Theorem），公式表达为： $$ |G| = |text{Orb}(x)| cdot |text{Stab}(x)| $$ 其中，$|G|$表示群的大小，$|text{Orb}(x)|$为元素$x$在群作用下的轨道大小，$|text{Stab}(x)|$为稳定化子群的大小。这一公式为对称性结构中的等价类计数提供了数学基础。

2.应用场景

该方法广泛应用于化学晶体结构分析、密码学中的置换网络设计，以及计算机科学中的图同构判定问题。例如，在化学中，通过群计数法可快速计算分子对称操作下的异构体数目。

3.经典案例

以正四面体的涂色问题为例：若用3种颜色涂色，考虑旋转对称性后，实际不同的涂色方案可通过Burnside引理（群计数法的具体实现）计算为： $$ frac{1}{|G|} sum_{g in G} text{fix}(g) $$ 其中$|G|=12$（正四面体的对称群阶数），最终可得15种本质不同的涂色方式。

4.扩展方法

Pólya计数定理进一步推广了群计数法，引入生成函数对带权重的复杂结构进行计数，成为组合枚举问题的核心工具之一。相关理论在《Enumerative Combinatorics》（Stanley著）等权威著作中有系统阐述。

网络扩展解释

群计数法（或按群计数）是一种通过分组方式进行高效统计的方法，其核心在于将个体按特定标准分群后整体计数，而非逐一计算。以下是详细解释：

一、基本概念

定义
群计数法指将大量数据按固定数量或特征划分为多个群体，以“群”为单位进行计数。例如，以5个为一群计数（如“正”字笔画统计），或按年龄、职业等特征分组统计。
与逐一计数的区别
传统计数是逐一点数（如数1、2、3...），而群计数通过分群简化流程，例如直接数“5、10、15...”。

二、应用场景

基础数学教育
帮助儿童理解倍数关系，如通过5个一数、10个一数建立数感。
数据统计与分析
- 人口统计：按年龄、性别等分群统计人口数量。
- 市场调查：按消费习惯、收入水平等划分用户群体并计数。
- 生物研究：统计不同物种或特征群体的个体数量。

三、典型示例

“正”字计数法：每笔代表1，一个“正”字共5笔，快速统计投票或数量。
分群统计公式：若每群含$k$个个体，总群数为$n$，则总数$N = k times n$（适用于均匀分群场景）。

四、注意事项

分群标准需明确：需根据目标选择合理的分群依据（如固定数量或特征）。
可能存在误差：若群体内个体数不均，需配合其他方法校准。

若需了解组合数学中的排列组合公式（如$A_n^m$），可参考其他数学资料。