区间积分英文解释翻译、区间积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 interval integral

分词翻译：

区的英语翻译：

area; borough; classify; distinguish; district; region; section
【计】 region
【医】 area; belt; field; quarter; regio; region; zona; zone

间的英语翻译：

among; between; separate; sow discord; space
【化】 meta-
【医】 dia-; inter-; meta-

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

专业解析

在数学分析中，区间积分（Interval Integral）指定义在实数区间上的积分运算，其核心是通过分割、近似、求和、取极限的过程计算函数在特定区间内的累积量。该概念对应英文术语为"definite integral over an interval"，常以符号$int_a^b f(x)dx$表示，其中$a,b$为积分上下限。

数学表达式与性质

区间积分的严格定义基于黎曼积分框架：

$$ inta^b f(x)dx = lim{|P| to 0} sum_{i=1}^n f(xi_i)Delta x_i $$

其中分割$P$将区间$[a,b]$划分为子区间，$Delta x_i$为子区间长度。当函数满足可积条件时，该极限值存在且唯一。

应用领域

物理学：计算变力做功（如弹簧压缩能量计算）
工程学：信号处理中功率谱密度的面积计算
经济学：累积收益曲线的总量分析

权威参考来源

《数学分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）作者Walter Rudin，第三章详细论述积分理论
美国数学学会（AMS）发布的《积分学基础》在线课程材料
剑桥大学数学系公开课讲义《实变函数与积分》模块

该定义体系通过测度论可扩展至勒贝格积分范畴，此时积分域从简单区间推广至更复杂的可测集，但核心的区间积分概念仍构成现代积分理论的基础框架。

网络扩展解释

“区间积分”通常指数学中在特定区间上对函数进行积分运算的概念，主要涉及定积分及其应用。以下是详细解释：

1.基本定义

区间积分最常见的含义是定积分，即对一个函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上的积分，表示为： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$ 其几何意义是函数图像与 ( x ) 轴在区间 ([a, b]) 内围成的面积（考虑正负号）。

2.核心性质

可加性：若区间分为 ([a, c]) 和 ([c, b])，则积分可拆分为： $$ int{a}^{b} f(x) , dx = int{a}^{c} f(x) , dx + int_{c}^{b} f(x) , dx $$
方向性：交换积分上下限会改变符号： $$ int{a}^{b} f(x) , dx = -int{b}^{a} f(x) , dx $$

3.分段积分

若函数在区间内分段定义（如分段函数），需分别计算每个子区间的积分再求和。例如： $$ f(x) = begin{cases} x & text{若 } x in [0, 2], 2x & text{若 } x in (2, 5] end{cases} $$ 则区间积分需拆分为 ([0, 2]) 和 ([2, 5]) 两部分计算。

4.应用场景

物理：计算变速运动的位移（速度函数在时间区间上的积分）。
概率论：概率密度函数在区间上的积分表示事件发生的概率。
工程：信号处理中分析特定时间区间内的能量。

5.数值积分方法

当解析解难以计算时，可采用数值方法（如梯形法则、辛普森法则）将区间分割为多个小区间，逐段近似积分值。例如： $$ int{a}^{b} f(x) , dx approx sum{i=1}^{n} frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} Delta x $$

如果具体场景中“区间积分”有特殊含义（如特定学科中的扩展定义），建议提供更多上下文以便进一步解释。