區間積分英文解釋翻譯、區間積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 interval integral

分詞翻譯：

區的英語翻譯：

area; borough; classify; distinguish; district; region; section
【計】 region
【醫】 area; belt; field; quarter; regio; region; zona; zone

間的英語翻譯：

among; between; separate; sow discord; space
【化】 meta-
【醫】 dia-; inter-; meta-

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

在數學分析中，區間積分（Interval Integral）指定義在實數區間上的積分運算，其核心是通過分割、近似、求和、取極限的過程計算函數在特定區間内的累積量。該概念對應英文術語為"definite integral over an interval"，常以符號$int_a^b f(x)dx$表示，其中$a,b$為積分上下限。

數學表達式與性質

區間積分的嚴格定義基于黎曼積分框架：

$$ inta^b f(x)dx = lim{|P| to 0} sum_{i=1}^n f(xi_i)Delta x_i $$

其中分割$P$将區間$[a,b]$劃分為子區間，$Delta x_i$為子區間長度。當函數滿足可積條件時，該極限值存在且唯一。

應用領域

物理學：計算變力做功（如彈簧壓縮能量計算）
工程學：信號處理中功率譜密度的面積計算
經濟學：累積收益曲線的總量分析

權威參考來源

《數學分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）作者Walter Rudin，第三章詳細論述積分理論
美國數學學會（AMS）發布的《積分學基礎》線上課程材料
劍橋大學數學系公開課講義《實變函數與積分》模塊

該定義體系通過測度論可擴展至勒貝格積分範疇，此時積分域從簡單區間推廣至更複雜的可測集，但核心的區間積分概念仍構成現代積分理論的基礎框架。

網絡擴展解釋

“區間積分”通常指數學中在特定區間上對函數進行積分運算的概念，主要涉及定積分及其應用。以下是詳細解釋：

1.基本定義

區間積分最常見的含義是定積分，即對一個函數 ( f(x) ) 在區間 ([a, b]) 上的積分，表示為： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$ 其幾何意義是函數圖像與 ( x ) 軸在區間 ([a, b]) 内圍成的面積（考慮正負號）。

2.核心性質

可加性：若區間分為 ([a, c]) 和 ([c, b])，則積分可拆分為： $$ int{a}^{b} f(x) , dx = int{a}^{c} f(x) , dx + int_{c}^{b} f(x) , dx $$
方向性：交換積分上下限會改變符號： $$ int{a}^{b} f(x) , dx = -int{b}^{a} f(x) , dx $$

3.分段積分

若函數在區間内分段定義（如分段函數），需分别計算每個子區間的積分再求和。例如： $$ f(x) = begin{cases} x & text{若 } x in [0, 2], 2x & text{若 } x in (2, 5] end{cases} $$ 則區間積分需拆分為 ([0, 2]) 和 ([2, 5]) 兩部分計算。

4.應用場景

物理：計算變速運動的位移（速度函數在時間區間上的積分）。
概率論：概率密度函數在區間上的積分表示事件發生的概率。
工程：信號處理中分析特定時間區間内的能量。

5.數值積分方法

當解析解難以計算時，可采用數值方法（如梯形法則、辛普森法則）将區間分割為多個小區間，逐段近似積分值。例如： $$ int{a}^{b} f(x) , dx approx sum{i=1}^{n} frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} Delta x $$

如果具體場景中“區間積分”有特殊含義（如特定學科中的擴展定義），建議提供更多上下文以便進一步解釋。