双线性关系英文解释翻译、双线性关系的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 bilinear relation

分词翻译：

双线的英语翻译：

crewel
【电】 twin line; twin wire

关系的英语翻译：

relation; relationship; appertain; bearing; concern; connection; term; tie
【计】 relation
【医】 rapport; reference; relation; relationship

专业解析

双线性关系（Bilinear Relation）是数学中描述两个向量空间之间特殊映射关系的核心概念。该术语由"双"（bi-）和"线性"（linear）构成，指代同时对两个变量分别保持线性性质的函数关系。在英语中对应表述为"bilinear form"，其严格定义为：设$V,W$为域$F$上的向量空间，映射$B:V×W→F$若满足对任意$v,v_1,v_2∈V$，$w,w_1,w_2∈W$和$a∈F$都有：

$$ B(av_1+v_2,w) = aB(v_1,w) + B(v_2,w) $$

$$ B(v,aw_1+w_2) = aB(v,w_1) + B(v,w_2) $$

典型实例包括矩阵乘法（当两个向量分别作为行向量和列向量时），以及欧几里得空间中的内积运算。在微分几何中，黎曼度量就是流形切空间上的双线性函数。

该概念在量子力学中尤为重要，海森堡不确定性原理的数学表述就建立在位置与动量算符的双线性关系基础上。工程领域则广泛应用于控制系统分析，如状态空间模型中输入与输出的交互关系建模。

参考来源：

Springer《线性代数及其应用》
MathWorld双线性形式词条
哈佛大学开放课程《微分几何》讲义
APS《物理评论》量子力学基础专题
IEEE控制系统汇刊

网络扩展解释

“双线性关系”是一个数学概念，通常用于描述涉及两个变量的线性相互作用。以下是详细解释：

1.定义

双线性关系指一个函数或映射对两个变量各自满足线性性质，但整体上未必是线性的。具体来说：

当固定其中一个变量时，函数对另一个变量是线性的；
这一性质需同时对两个变量成立。

2.数学表达

设函数 ( B: V times W to mathbb{R} )，其中 ( V ) 和 ( W ) 是向量空间。若满足： $$ B(amathbf{x}_1 + bmathbf{x}_2, mathbf{y}) = aB(mathbf{x}_1, mathbf{y}) + bB(mathbf{x}_2, mathbf{y}), $$ $$ B(mathbf{x}, cmathbf{y}_1 + dmathbf{y}_2) = cB(mathbf{x}, mathbf{y}_1) + dB(mathbf{x}, mathbf{y}_2), $$ 则 ( B ) 是双线性的。这里 ( a, b, c, d ) 是标量，( mathbf{x}, mathbf{y} ) 是向量。

3.典型例子

内积运算：例如欧几里得空间中的点积 ( mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + dots + u_nv_n )。
矩阵乘法：若将矩阵乘法视为双线性映射 ( (A, B) mapsto AB )。
双线性插值：图像处理中基于四个邻近像素的插值方法。

4.性质

对称性：若 ( B(mathbf{x}, mathbf{y}) = B(mathbf{y}, mathbf{x}) )，称为对称双线性形式（如内积）；
反对称性：若 ( B(mathbf{x}, mathbf{y}) = -B(mathbf{y}, mathbf{x}) )，则称为反对称（如辛形式）。

5.应用领域

微分几何：度量张量描述流形上点的切空间内积；
量子力学：哈密顿算符的双线性形式；
工程学：材料力学中的应力-应变关系建模。

双线性关系是同时关于两个变量的线性扩展，但其整体可能非线性（例如包含交叉项）。这一概念在抽象代数、物理建模和工程计算中具有广泛的应用基础。