雙線性關系英文解釋翻譯、雙線性關系的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 bilinear relation

分詞翻譯：

雙線的英語翻譯：

crewel
【電】 twin line; twin wire

關系的英語翻譯：

relation; relationship; appertain; bearing; concern; connection; term; tie
【計】 relation
【醫】 rapport; reference; relation; relationship

專業解析

雙線性關系（Bilinear Relation）是數學中描述兩個向量空間之間特殊映射關系的核心概念。該術語由"雙"（bi-）和"線性"（linear）構成，指代同時對兩個變量分别保持線性性質的函數關系。在英語中對應表述為"bilinear form"，其嚴格定義為：設$V,W$為域$F$上的向量空間，映射$B:V×W→F$若滿足對任意$v,v_1,v_2∈V$，$w,w_1,w_2∈W$和$a∈F$都有：

$$ B(av_1+v_2,w) = aB(v_1,w) + B(v_2,w) $$

$$ B(v,aw_1+w_2) = aB(v,w_1) + B(v,w_2) $$

典型實例包括矩陣乘法（當兩個向量分别作為行向量和列向量時），以及歐幾裡得空間中的内積運算。在微分幾何中，黎曼度量就是流形切空間上的雙線性函數。

該概念在量子力學中尤為重要，海森堡不确定性原理的數學表述就建立在位置與動量算符的雙線性關系基礎上。工程領域則廣泛應用于控制系統分析，如狀态空間模型中輸入與輸出的交互關系建模。

參考來源：

Springer《線性代數及其應用》
MathWorld雙線性形式詞條
哈佛大學開放課程《微分幾何》講義
APS《物理評論》量子力學基礎專題
IEEE控制系統彙刊

網絡擴展解釋

“雙線性關系”是一個數學概念，通常用于描述涉及兩個變量的線性相互作用。以下是詳細解釋：

1.定義

雙線性關系指一個函數或映射對兩個變量各自滿足線性性質，但整體上未必是線性的。具體來說：

當固定其中一個變量時，函數對另一個變量是線性的；
這一性質需同時對兩個變量成立。

2.數學表達

設函數 ( B: V times W to mathbb{R} )，其中 ( V ) 和 ( W ) 是向量空間。若滿足： $$ B(amathbf{x}_1 + bmathbf{x}_2, mathbf{y}) = aB(mathbf{x}_1, mathbf{y}) + bB(mathbf{x}_2, mathbf{y}), $$ $$ B(mathbf{x}, cmathbf{y}_1 + dmathbf{y}_2) = cB(mathbf{x}, mathbf{y}_1) + dB(mathbf{x}, mathbf{y}_2), $$ 則 ( B ) 是雙線性的。這裡 ( a, b, c, d ) 是标量，( mathbf{x}, mathbf{y} ) 是向量。

3.典型例子

内積運算：例如歐幾裡得空間中的點積 ( mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + dots + u_nv_n )。
矩陣乘法：若将矩陣乘法視為雙線性映射 ( (A, B) mapsto AB )。
雙線性插值：圖像處理中基于四個鄰近像素的插值方法。

4.性質

對稱性：若 ( B(mathbf{x}, mathbf{y}) = B(mathbf{y}, mathbf{x}) )，稱為對稱雙線性形式（如内積）；
反對稱性：若 ( B(mathbf{x}, mathbf{y}) = -B(mathbf{y}, mathbf{x}) )，則稱為反對稱（如辛形式）。

5.應用領域

微分幾何：度量張量描述流形上點的切空間内積；
量子力學：哈密頓算符的雙線性形式；
工程學：材料力學中的應力-應變關系建模。

雙線性關系是同時關于兩個變量的線性擴展，但其整體可能非線性（例如包含交叉項）。這一概念在抽象代數、物理建模和工程計算中具有廣泛的應用基礎。