割平面法英文解釋翻譯、割平面法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 cutting-plane method

分詞翻譯：

割的英語翻譯：

cut; scalpel; shear; skive
【建】 cropping

平面法的英語翻譯：

【計】 planar method

專業解析

割平面法 (Cutting Plane Method)

漢英詞典釋義：

割平面法（Gē Píngmiàn Fǎ），英文譯為Cutting Plane Method，是一種用于求解整數規劃或混合整數規劃問題的數學優化算法。其核心思想是通過向原問題中添加一系列線性不等式約束（稱為“割平面”），逐步切割掉非整數可行解區域，逼近問題的最優整數解。

核心原理與步驟

松弛問題求解
忽略整數約束，求解線性規劃松弛問題。若松弛解為整數，則其為原問題最優解；否則進入下一步。

來源：Nemhauser & Wolsey (1988)，《Integer and Combinatorial Optimization》
生成割平面
根據當前非整數解構造線性不等式（割平面），要求：
- 割平面需“切割”掉當前非整數解；
- 不切除任何整數可行解。
  例如，Gomory割平面法利用單純形表的最終行生成割平面：
  
  $$ sum_{j} f_j x_j geq f_0
  
  $$ 其中 ( f_j ) 為系數的小數部分。
  
  來源：Gomory (1958)，"Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs"
疊代收斂
将新割平面加入原問題，重新求解松弛問題。重複此過程直至獲得整數最優解或證明無解。

應用場景

組合優化：旅行商問題、裝箱問題等；
工業調度：資源分配、生産線優化；
金融建模：投資組合整數約束優化。
來源：IBM ILOG CPLEX 官方文檔

權威參考文獻

經典著作
Nemhauser, G. L., & Wolsey, L. A. (1988). Integer and Combinatorial Optimization. Wiley.

算法起源
Gomory, R. E. (1958). "Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs". Bulletin of the American Mathematical Society.

現代應用指南
Conforti, M., Cornuéjols, G., & Zambelli, G. (2014). Integer Programming. Springer.

數學形式化描述

對于整數規劃問題：

$$ begin{align} max quad & c^T x

text{s.t.} quad & Ax leq b

& x in mathbb{Z}^n end{align} $$

割平面法通過疊代添加約束 ( alpha^T x leq beta ) 收緊可行域，最終使松弛解滿足整數性。

網絡擴展解釋

割平面法（Cutting Plane Method）是一種用于求解整數規劃問題的數學優化方法，由Ralph Gomory于1958年提出。其核心思想是通過逐步添加線性約束（稱為“割平面”），不斷縮小可行域，最終逼近整數最優解。以下是詳細解釋：

基本思想

松弛問題：先忽略整數約束，求解對應的線性規劃問題（松弛問題）。
割平面生成：若松弛問題的最優解不滿足整數條件，則生成一個線性不等式（割平面），将當前非整數解“割去”，同時保留所有整數可行解。
疊代優化：重複求解新的線性規劃問題，直到找到滿足整數條件的最優解。

關鍵步驟

求解松弛問題：例如，對整數規劃問題 $min c^T x$，先求解 $min c^T x$，約束為 $Ax leq b$（忽略整數約束）。
檢查整數性：若解為整數，則結束；否則進入下一步。
構造割平面：從單純形表的最終行中提取非整數解對應的約束，将其分解為整數部分和小數部分，生成新的線性約束。例如，對某行 $sum a_{ij} x_j = b_i$，若 $bi$ 非整數，可構造割平面 $sum (a{ij} - lfloor a_{ij} rfloor) x_j geq b_i - lfloor b_i rfloor$。
更新問題：将新約束加入原問題，重新求解。

數學示例

假設松弛問題解為 $x_1 = 2.5$, $x_2 = 3.2$，對應的約束方程為： $$x_1 - 0.6x_2 = 0.8$$ 分解小數部分後，割平面可構造為： $$0.4x_2 geq 0.8 quad Rightarrow quad x_2 geq 2$$ 此約束排除非整數解，但保留所有整數可行解。

優缺點

優點：
- 理論嚴謹，適用于多種整數規劃問題。
- 可與單純形法結合，利用現有線性規劃工具。
缺點：
- 收斂速度可能較慢，尤其在高維問題中。
- 需要多次疊代，計算成本較高。

應用領域

生産調度（如工廠排産）
物流路徑優化
資源分配（如通信網絡帶寬分配）

通過不斷“切割”非整數解區域，割平面法逐步逼近整數解，是組合優化中經典且重要的方法。實際應用中常與其他算法（如分支定界法）結合以提高效率。