割平面法英文解释翻译、割平面法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 cutting-plane method

分词翻译：

割的英语翻译：

cut; scalpel; shear; skive
【建】 cropping

平面法的英语翻译：

【计】 planar method

专业解析

割平面法 (Cutting Plane Method)

汉英词典释义：

割平面法（Gē Píngmiàn Fǎ），英文译为Cutting Plane Method，是一种用于求解整数规划或混合整数规划问题的数学优化算法。其核心思想是通过向原问题中添加一系列线性不等式约束（称为“割平面”），逐步切割掉非整数可行解区域，逼近问题的最优整数解。

核心原理与步骤

松弛问题求解
忽略整数约束，求解线性规划松弛问题。若松弛解为整数，则其为原问题最优解；否则进入下一步。

来源：Nemhauser & Wolsey (1988)，《Integer and Combinatorial Optimization》
生成割平面
根据当前非整数解构造线性不等式（割平面），要求：
- 割平面需“切割”掉当前非整数解；
- 不切除任何整数可行解。
  例如，Gomory割平面法利用单纯形表的最终行生成割平面：
  
  $$ sum_{j} f_j x_j geq f_0
  
  $$ 其中 ( f_j ) 为系数的小数部分。
  
  来源：Gomory (1958)，"Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs"
迭代收敛
将新割平面加入原问题，重新求解松弛问题。重复此过程直至获得整数最优解或证明无解。

应用场景

组合优化：旅行商问题、装箱问题等；
工业调度：资源分配、生产线优化；
金融建模：投资组合整数约束优化。
来源：IBM ILOG CPLEX 官方文档

权威参考文献

经典著作
Nemhauser, G. L., & Wolsey, L. A. (1988). Integer and Combinatorial Optimization. Wiley.

算法起源
Gomory, R. E. (1958). "Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs". Bulletin of the American Mathematical Society.

现代应用指南
Conforti, M., Cornuéjols, G., & Zambelli, G. (2014). Integer Programming. Springer.

数学形式化描述

对于整数规划问题：

$$ begin{align} max quad & c^T x

text{s.t.} quad & Ax leq b

& x in mathbb{Z}^n end{align} $$

割平面法通过迭代添加约束 ( alpha^T x leq beta ) 收紧可行域，最终使松弛解满足整数性。

网络扩展解释

割平面法（Cutting Plane Method）是一种用于求解整数规划问题的数学优化方法，由Ralph Gomory于1958年提出。其核心思想是通过逐步添加线性约束（称为“割平面”），不断缩小可行域，最终逼近整数最优解。以下是详细解释：

基本思想

松弛问题：先忽略整数约束，求解对应的线性规划问题（松弛问题）。
割平面生成：若松弛问题的最优解不满足整数条件，则生成一个线性不等式（割平面），将当前非整数解“割去”，同时保留所有整数可行解。
迭代优化：重复求解新的线性规划问题，直到找到满足整数条件的最优解。

关键步骤

求解松弛问题：例如，对整数规划问题 $min c^T x$，先求解 $min c^T x$，约束为 $Ax leq b$（忽略整数约束）。
检查整数性：若解为整数，则结束；否则进入下一步。
构造割平面：从单纯形表的最终行中提取非整数解对应的约束，将其分解为整数部分和小数部分，生成新的线性约束。例如，对某行 $sum a_{ij} x_j = b_i$，若 $bi$ 非整数，可构造割平面 $sum (a{ij} - lfloor a_{ij} rfloor) x_j geq b_i - lfloor b_i rfloor$。
更新问题：将新约束加入原问题，重新求解。

数学示例

假设松弛问题解为 $x_1 = 2.5$, $x_2 = 3.2$，对应的约束方程为： $$x_1 - 0.6x_2 = 0.8$$ 分解小数部分后，割平面可构造为： $$0.4x_2 geq 0.8 quad Rightarrow quad x_2 geq 2$$ 此约束排除非整数解，但保留所有整数可行解。

优缺点

优点：
- 理论严谨，适用于多种整数规划问题。
- 可与单纯形法结合，利用现有线性规划工具。
缺点：
- 收敛速度可能较慢，尤其在高维问题中。
- 需要多次迭代，计算成本较高。

应用领域

生产调度（如工厂排产）
物流路径优化
资源分配（如通信网络带宽分配）

通过不断“切割”非整数解区域，割平面法逐步逼近整数解，是组合优化中经典且重要的方法。实际应用中常与其他算法（如分支定界法）结合以提高效率。