哥摩利割平面法英文解釋翻譯、哥摩利割平面法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Gomory cutting-plane method

分詞翻譯：

哥摩利的英語翻譯：

【計】 Gomory

割平面法的英語翻譯：

【計】 cutting-plane method

專業解析

哥摩利割平面法（Gomory's Cutting Plane Method），也稱為高莫雷割平面法，是一種用于求解整數線性規劃問題（Integer Linear Programming, ILP）的經典算法。它由數學家拉爾夫·高莫雷（Ralph E. Gomory）于1958年提出，通過逐步添加線性約束（稱為“割平面”）來切割掉非整數最優解，最終收斂到整數最優解。

1.基本定義與目的

漢英對照：哥摩利割平面法（Gomory's Cutting Plane Method）
核心目标：解決形如 (min c^T x) 的整數規劃問題，其中 (x in mathbb{Z}^n)，且滿足 (Ax leq b)。該方法通過疊代生成額外的線性約束（割平面），逐步縮小可行域，迫使最優解向整數解逼近。

2.核心原理

松弛問題：先忽略整數約束，求解線性規劃松弛問題（LP Relaxation），得到最優解 (x^*)。
割平面生成：若 (x^*) 非整數，則根據其非整數分量構造一個新的線性約束（Gomory割），添加到原問題中。該割平面滿足：
- 不切割任何整數可行解；
- 切割掉當前非整數最優解 (x^*)。
疊代求解：重複求解添加新約束後的LP問題，直至最優解為整數或證明無解。

3.數學表達（以等式約束為例）

假設松弛問題的最優表單純形表中存在一行： $$ xi + sum{j in N} a_{ij} x_j = b_i $$ 其中 (bi otin mathbb{Z})。則Gomory割可寫為： $$ sum{j in N} (a{ij} - lfloor a{ij} rfloor) x_j geq b_i - lfloor b_i rfloor $$ 此割平面利用了整數解需滿足的“分數部分累積”性質。

4.應用場景

組合優化：如旅行商問題（TSP）、背包問題等。
工業調度：資源分配、生産計劃中的整數約束優化。
理論意義：是分支定界法的重要補充，常與之結合使用（如Branch-and-Cut算法）。

5.算法步驟

求解LP松弛問題，得解 (x^*)。
若 (x^*) 為整數，輸出解；否則，選擇一個非整數分量生成Gomory割。
添加割平面到約束集，重新求解LP。
重複直至滿足終止條件（如整數解或疊代次數限制）。

參考文獻

Gomory, R. E. (1958). Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs. Bulletin of the American Mathematical Society.
Nemhauser, G. L., & Wolsey, L. A. (1988). Integer and Combinatorial Optimization. Wiley.
Wolsey, L. A. (1998). Integer Programming. Wiley.
IBM Research. Cutting-plane methods for integer programming. https://research.ibm.com/publications/cutting-plane-methods
MIT OpenCourseWare. Applied Mathematical Programming. https://ocw.mit.edu/courses/15-083j-integer-programming-and-combinatorial-optimization-fall-2009/

網絡擴展解釋

哥摩利割平面法（Gomory Cutting-Plane Method）是由美國數學家拉爾夫·高莫利（Ralph E. Gomory）于1958年提出的一種求解整數規劃問題的算法。其核心思想是通過逐步添加線性約束（稱為“割平面”），将原問題的可行域縮小，最終逼近整數最優解。以下是詳細解釋：

基本原理

松弛問題求解
先忽略整數約束，用單純形法求解對應的線性規劃松弛問題。若松弛問題無解，則原整數規劃也無解；若松弛問題的最優解滿足整數條件，則直接作為原問題的最優解。
生成割平面
若松弛問題的最優解中存在非整數值變量，則生成一個線性不等式約束（即割平面），将當前非整數解“切割”出去，同時保留所有整數可行解。例如，通過分析單純形表中的分數部分，構造如 $sum a_{ij}x_j geq b_i$ 的約束條件。
疊代優化
将新約束加入原問題，重新求解松弛問題，重複上述過程，直到得到整數最優解。

特點與優勢

適用性廣：適用于純整數規劃和混合整數規劃。
幾何直觀：通過切割非整數解區域縮小可行域（如中的圖示虛線部分）。
無需分支：與分支定界法不同，它通過添加平面約束而非分割可行域來逼近解。

局限性

收斂速度慢：可能需要多次疊代生成割平面，計算量較大。
切割效率依賴構造方法：若割平面選擇不當，可能導緻收斂困難。

示例說明

假設松弛問題的最優解為 $x_1=1.5$，但要求 $x_1$ 為整數。通過生成割平面（如 $x_1 leq 1$ 或 $x_1 geq 2$），将原可行域切割掉包含 $x_1=1.5$ 的部分，再重新求解新的線性規劃問題。

該方法在組合優化、生産調度等領域有重要應用，是整數規劃經典算法之一。如需進一步了解數學推導或具體案例，可參考詳細分析。