哥摩利割平面法英文解释翻译、哥摩利割平面法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Gomory cutting-plane method

分词翻译：

哥摩利的英语翻译：

【计】 Gomory

割平面法的英语翻译：

【计】 cutting-plane method

专业解析

哥摩利割平面法（Gomory's Cutting Plane Method），也称为高莫雷割平面法，是一种用于求解整数线性规划问题（Integer Linear Programming, ILP）的经典算法。它由数学家拉尔夫·高莫雷（Ralph E. Gomory）于1958年提出，通过逐步添加线性约束（称为“割平面”）来切割掉非整数最优解，最终收敛到整数最优解。

1.基本定义与目的

汉英对照：哥摩利割平面法（Gomory's Cutting Plane Method）
核心目标：解决形如 (min c^T x) 的整数规划问题，其中 (x in mathbb{Z}^n)，且满足 (Ax leq b)。该方法通过迭代生成额外的线性约束（割平面），逐步缩小可行域，迫使最优解向整数解逼近。

2.核心原理

松弛问题：先忽略整数约束，求解线性规划松弛问题（LP Relaxation），得到最优解 (x^*)。
割平面生成：若 (x^*) 非整数，则根据其非整数分量构造一个新的线性约束（Gomory割），添加到原问题中。该割平面满足：
- 不切割任何整数可行解；
- 切割掉当前非整数最优解 (x^*)。
迭代求解：重复求解添加新约束后的LP问题，直至最优解为整数或证明无解。

3.数学表达（以等式约束为例）

假设松弛问题的最优表单纯形表中存在一行： $$ xi + sum{j in N} a_{ij} x_j = b_i $$ 其中 (bi otin mathbb{Z})。则Gomory割可写为： $$ sum{j in N} (a{ij} - lfloor a{ij} rfloor) x_j geq b_i - lfloor b_i rfloor $$ 此割平面利用了整数解需满足的“分数部分累积”性质。

4.应用场景

组合优化：如旅行商问题（TSP）、背包问题等。
工业调度：资源分配、生产计划中的整数约束优化。
理论意义：是分支定界法的重要补充，常与之结合使用（如Branch-and-Cut算法）。

5.算法步骤

求解LP松弛问题，得解 (x^*)。
若 (x^*) 为整数，输出解；否则，选择一个非整数分量生成Gomory割。
添加割平面到约束集，重新求解LP。
重复直至满足终止条件（如整数解或迭代次数限制）。

参考文献

Gomory, R. E. (1958). Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs. Bulletin of the American Mathematical Society.
Nemhauser, G. L., & Wolsey, L. A. (1988). Integer and Combinatorial Optimization. Wiley.
Wolsey, L. A. (1998). Integer Programming. Wiley.
IBM Research. Cutting-plane methods for integer programming. https://research.ibm.com/publications/cutting-plane-methods
MIT OpenCourseWare. Applied Mathematical Programming. https://ocw.mit.edu/courses/15-083j-integer-programming-and-combinatorial-optimization-fall-2009/

网络扩展解释

哥摩利割平面法（Gomory Cutting-Plane Method）是由美国数学家拉尔夫·高莫利（Ralph E. Gomory）于1958年提出的一种求解整数规划问题的算法。其核心思想是通过逐步添加线性约束（称为“割平面”），将原问题的可行域缩小，最终逼近整数最优解。以下是详细解释：

基本原理

松弛问题求解
先忽略整数约束，用单纯形法求解对应的线性规划松弛问题。若松弛问题无解，则原整数规划也无解；若松弛问题的最优解满足整数条件，则直接作为原问题的最优解。
生成割平面
若松弛问题的最优解中存在非整数值变量，则生成一个线性不等式约束（即割平面），将当前非整数解“切割”出去，同时保留所有整数可行解。例如，通过分析单纯形表中的分数部分，构造如 $sum a_{ij}x_j geq b_i$ 的约束条件。
迭代优化
将新约束加入原问题，重新求解松弛问题，重复上述过程，直到得到整数最优解。

特点与优势

适用性广：适用于纯整数规划和混合整数规划。
几何直观：通过切割非整数解区域缩小可行域（如中的图示虚线部分）。
无需分支：与分支定界法不同，它通过添加平面约束而非分割可行域来逼近解。

局限性

收敛速度慢：可能需要多次迭代生成割平面，计算量较大。
切割效率依赖构造方法：若割平面选择不当，可能导致收敛困难。

示例说明

假设松弛问题的最优解为 $x_1=1.5$，但要求 $x_1$ 为整数。通过生成割平面（如 $x_1 leq 1$ 或 $x_1 geq 2$），将原可行域切割掉包含 $x_1=1.5$ 的部分，再重新求解新的线性规划问题。

该方法在组合优化、生产调度等领域有重要应用，是整数规划经典算法之一。如需进一步了解数学推导或具体案例，可参考详细分析。