剛性方程英文解釋翻譯、剛性方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 stiff equation

分詞翻譯：

剛的英語翻譯：

exactly; immediately; just; strong; firm

方程的英語翻譯：

equation

專業解析

在數學與工程學領域，"剛性方程"對應的英文術語為"stiff differential equations"，指一類具有顯著不同時間尺度的常微分方程，其數值解需要特殊算法以避免不穩定現象。這類方程的特點是雅可比矩陣的最大特征值與最小特征值的模之比（即剛性比）極大，通常超過$10$。

剛性方程常見于以下領域：

化學反應動力學：多組分反應系統中快速平衡與慢速反應并存的情況，例如燃燒過程建模（參考《SIAM Journal on Numerical Analysis》相關研究）。
電路分析：包含快速變化的瞬态過程和緩慢的穩态過程共存的電路系統（依據IEEE Transactions on Circuit Theory技術标準）。
生物醫學工程：細胞信號傳導模型中不同時間尺度的生化反應耦合系統（《Journal of Computational Biology》刊載案例）。

數學上可表示為： $$ y' = f(t,y), quad text{Re}(lambda_i) ll 0 quad text{且} quad max|lambda_i| / min|lambda_i| gg 1 $$ 其中$lambda_i$為雅可比矩陣$partial f/partial y$的特征值，該特性導緻顯式方法如歐拉法需要極小的步長才能保持穩定，而隱式方法如向後差分公式(BDF)更適用。

術語對照方面，"剛性"在英文文獻中對應"stiffness"概念，該詞源起于1952年Curtiss & Hirschfelder關于化學反應的數值研究論文，現已成為微分方程數值分析領域的标準術語。

網絡擴展解釋

剛性方程是微分方程的一種特殊類型，其核心特征在于數值求解的穩定性對時間步長極為敏感。以下從定義、特點、示例及實際應用等方面詳細解釋：

1. 定義與基本特性

剛性方程（Stiff Equation）指在數值分析中，解需要極小的步長才能穩定，若步長稍大則結果迅速發散或不穩定。這種現象并非由解本身的特性決定，而是方程本身的結構導緻，因此也被稱為剛性系統。

2. 關鍵特點

多時間尺度：方程可能包含快速衰減或劇烈變化的項（如指數衰減項）與緩慢變化的項共存，導緻數值方法需兼顧不同尺度。
穩定性條件嚴苛：顯式方法（如歐拉法）需要極小的步長才能保持穩定，而隱式方法通常更適合求解。
剛性比高：數學上常用“剛性比”衡量，即最大特征值與最小特征值的絕對值之比遠大于1。

3. 示例與數學表達

考慮一階常微分方程： $$ y' = -15y, quad y(0)=1 $$ 其精确解為： $$ y(t) = e^{-15t} $$ 當 ( t to infty ) 時，解快速趨近于0。若用顯式歐拉法求解，步長必須滿足 ( h < frac{2}{15} ) 才能穩定，否則數值解會發散。

4. 實際應用場景

化學反應模型：如Robertson反應中，不同物質的濃度變化速率差異極大，形成剛性系統。
控制系統：宇航器的質心運動（慢變化）與姿态調整（快變化）需通過剛性方程描述。

5. 數值方法選擇

推薦使用隱式方法（如隱式歐拉法、龍格-庫塔法）或剛性求解器（如MATLAB中的ode15s），因其對步長的限制較寬松。

總結來看，剛性方程的本質是微分方程内部不同變化速率的動态過程導緻數值求解困難，需針對性地選擇算法以保證效率和穩定性。