刚性方程英文解释翻译、刚性方程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 stiff equation

分词翻译：

刚的英语翻译：

exactly; immediately; just; strong; firm

方程的英语翻译：

equation

专业解析

在数学与工程学领域，"刚性方程"对应的英文术语为"stiff differential equations"，指一类具有显著不同时间尺度的常微分方程，其数值解需要特殊算法以避免不稳定现象。这类方程的特点是雅可比矩阵的最大特征值与最小特征值的模之比（即刚性比）极大，通常超过$10$。

刚性方程常见于以下领域：

化学反应动力学：多组分反应系统中快速平衡与慢速反应并存的情况，例如燃烧过程建模（参考《SIAM Journal on Numerical Analysis》相关研究）。
电路分析：包含快速变化的瞬态过程和缓慢的稳态过程共存的电路系统（依据IEEE Transactions on Circuit Theory技术标准）。
生物医学工程：细胞信号传导模型中不同时间尺度的生化反应耦合系统（《Journal of Computational Biology》刊载案例）。

数学上可表示为： $$ y' = f(t,y), quad text{Re}(lambda_i) ll 0 quad text{且} quad max|lambda_i| / min|lambda_i| gg 1 $$ 其中$lambda_i$为雅可比矩阵$partial f/partial y$的特征值，该特性导致显式方法如欧拉法需要极小的步长才能保持稳定，而隐式方法如向后差分公式(BDF)更适用。

术语对照方面，"刚性"在英文文献中对应"stiffness"概念，该词源起于1952年Curtiss & Hirschfelder关于化学反应的数值研究论文，现已成为微分方程数值分析领域的标准术语。

网络扩展解释

刚性方程是微分方程的一种特殊类型，其核心特征在于数值求解的稳定性对时间步长极为敏感。以下从定义、特点、示例及实际应用等方面详细解释：

1. 定义与基本特性

刚性方程（Stiff Equation）指在数值分析中，解需要极小的步长才能稳定，若步长稍大则结果迅速发散或不稳定。这种现象并非由解本身的特性决定，而是方程本身的结构导致，因此也被称为刚性系统。

2. 关键特点

多时间尺度：方程可能包含快速衰减或剧烈变化的项（如指数衰减项）与缓慢变化的项共存，导致数值方法需兼顾不同尺度。
稳定性条件严苛：显式方法（如欧拉法）需要极小的步长才能保持稳定，而隐式方法通常更适合求解。
刚性比高：数学上常用“刚性比”衡量，即最大特征值与最小特征值的绝对值之比远大于1。

3. 示例与数学表达

考虑一阶常微分方程： $$ y' = -15y, quad y(0)=1 $$ 其精确解为： $$ y(t) = e^{-15t} $$ 当 ( t to infty ) 时，解快速趋近于0。若用显式欧拉法求解，步长必须满足 ( h < frac{2}{15} ) 才能稳定，否则数值解会发散。

4. 实际应用场景

化学反应模型：如Robertson反应中，不同物质的浓度变化速率差异极大，形成刚性系统。
控制系统：宇航器的质心运动（慢变化）与姿态调整（快变化）需通过刚性方程描述。

5. 数值方法选择

推荐使用隐式方法（如隐式欧拉法、龙格-库塔法）或刚性求解器（如MATLAB中的ode15s），因其对步长的限制较宽松。

总结来看，刚性方程的本质是微分方程内部不同变化速率的动态过程导致数值求解困难，需针对性地选择算法以保证效率和稳定性。