分數階英文解釋翻譯、分數階的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 fractional order

分詞翻譯：

分數的英語翻譯：

fraction; grade; mark; numeric; point
【計】 F; fractional number
【經】 fraction

階的英語翻譯：

rank; stairs; steps
【計】 characteristic
【醫】 scala

專業解析

分數階（fractional-order）是數學與工程領域的重要概念，指代微積分運算中導數和積分的階數從整數擴展至非整數的形式。其核心在于通過Gamma函數、Riemann-Liouville定義或Caputo定義等工具，實現對連續系統更精細的動态描述。例如，分數階導數可表示為： $$ mathcal{D}^alpha f(t) = frac{1}{Gamma(n-alpha)} int_{0}^{t} frac{f^{(n)}(tau)}{(t-tau)^{alpha-n+1}} dtau $$ 其中$alpha in mathbb{R}^+$為分數階數，$n$為大于$alpha$的最小整數。

在工程實踐中，分數階模型已應用于锂電池狀态估計、地震波傳播分析等場景。相較于整數階模型，其優勢在于用更少的參數表征具有記憶性和遺傳特性的複雜系統。美國數學學會（AMS）将其定義為"對傳統微積分算子的廣義延伸"（見《數學評論》第52卷），而IEEE控制系統協會則強調其在描述非局部效應中的物理意義。

網絡擴展解釋

分數階（Fractional Order）是數學中分數階微積分的核心概念，用于描述非整數階的微分或積分運算。以下從定義、曆史背景、數學形式和應用領域進行詳細解釋：

1.基本定義

分數階微積分是對傳統整數階微積分的擴展，允許導數和積分的階數為非整數（如1/2階導數、√2階積分等）。其核心思想是将微分和積分運算推廣到任意實數階：

階數符號：通常用希臘字母α、β等表示分數階導數的階數（如網頁）。
與傳統微積分的區别：傳統微積分僅涉及整數階運算（如一階導數、二重積分），而分數階可描述介于整數階之間的現象（如網頁）。

2.曆史發展

分數階概念最早可追溯至17世紀：

起源：1695年萊布尼茨在與洛必達的通信中首次提出“半階導數”的設想（網頁）。
完善：19世紀經歐拉、傅裡葉、黎曼等數學家逐步建立理論框架，近年因應用需求得到快速發展。

3.數學定義

常用定義方式有兩種：

Riemann-Liouville定義： $$ D^alpha f(t) = frac{1}{Gamma(n-alpha)} frac{d^n}{dt^n} int_a^t frac{f(tau)}{(t-tau)^{alpha-n+1}} dtau $$ 其中( n = lceil alpha rceil )，Γ為伽馬函數（網頁）。
Caputo定義： $$ D^alpha f(t) = frac{1}{Gamma(n-alpha)} int_a^t frac{f^{(n)}(tau)}{(t-tau)^{alpha-n+1}} dtau $$ Caputo導數在物理問題中更便于處理初始條件（網頁）。

4.核心特性與優勢

記憶性：分數階微分包含積分核，能描述系統的曆史依賴性（如材料蠕變、生物組織擴散等）（網頁、）。
連續性：可平滑過渡整數階結果，例如1.5階導數介于1階和2階之間。

5.應用領域

分數階微積分在多個學科中發揮重要作用：

物理學：描述反常擴散、分數階諧振子等（網頁）。
工程學：設計分數階PID控制器，提升系統穩定性。
生物學與醫學：模拟組織記憶效應、核磁共振成像分析（網頁）。
經濟學：研究具有長期記憶的金融市場波動。

6.總結

分數階突破了傳統微積分的整數階限制，通過非整數階運算更精準地刻畫複雜系統的動态特性。其理論仍在發展中，但在跨學科應用中已展現出獨特優勢。如需進一步了解具體數學推導或應用案例，可參考相關文獻或專業教材。