傅立葉級數英文解釋翻譯、傅立葉級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 fourier series

分詞翻譯：

立的英語翻譯：

establish; exist; immediate; stand

葉的英語翻譯：

leaf; foliage; frondage; part of a historical period
【醫】 foil; Fol.; folia; folium; frond; leaf; lobe; lobi; lobus; petalo-
phyllo-

級數的英語翻譯：

progression; series
【經】 progression

專業解析

傅立葉級數（Fourier Series）是一種将周期函數分解為簡單正弦和餘弦函數之數學工具。其英文術語為"Fourier Series"，名稱源于法國數學家讓-巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉（Jean-Baptiste Joseph Fourier）在熱傳導研究中提出的理論。

數學定義

對于周期為$2pi$的函數$f(x)$，其傅立葉級數展開式為： $$ f(x) = frac{a0}{2} + sum{n=1}^{infty} left( a_n cos nx + b_n sin nx right) $$ 其中系數計算公式為： $$ an = frac{1}{pi} int{-pi}^{pi} f(x)cos nx ,dx $$ $$ bn = frac{1}{pi} int{-pi}^{pi} f(x)sin nx ,dx $$

核心特性

正交性基礎：三角函數系${1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ldots}$在區間$[-pi, pi]$上構成正交函數集
收斂條件：滿足狄利克雷條件的周期函數可展開為傅立葉級數
頻譜分析：系數$a_n$和$b_n$對應不同頻率成分的幅值，廣泛應用于信號處理

工程應用

在電氣工程領域，傅立葉級數被用于：

交流電路分析（阻抗計算）
信號頻譜分解
電力諧波研究
圖像壓縮算法（JPEG标準）

擴展形式

複數形式的傅立葉級數表示為： $$ f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{inx} $$ 其中$cn = frac{1}{2pi} int{-pi}^{pi} f(x)e^{-inx}dx$，這種形式在通信系統中更便于計算。

來源參考：

美國數學學會《數學術語詞典》
MIT開放課程《信號與系統》教材
IEEE Xplore數據庫《諧波分析工程應用》論文

網絡擴展解釋

傅立葉級數是一種将周期函數分解為一系列簡單正弦和餘弦函數之數學工具，其核心思想是用不同頻率的諧波疊加來逼近複雜波形。以下是關鍵點解釋：

1.基本定義

對于周期為 ( T ) 的函數 ( f(x) )，其傅立葉級數展開式為： $$ f(x) = frac{a0}{2} + sum{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi n x}{T}right) + b_n sinleft(frac{2pi n x}{T}right) right] $$ 其中：

( a_0 ) 是直流分量，表示函數的平均值；
( a_n ) 和 ( b_n ) 是傅立葉系數，計算公式為： $$ an = frac{2}{T} int{-T/2}^{T/2} f(x)cosleft(frac{2pi n x}{T}right) dx, quad bn = frac{2}{T} int{-T/2}^{T/2} f(x)sinleft(frac{2pi n x}{T}right) dx $$

2.物理意義

諧波分解：任何周期信號都可以分解為基頻（( n=1 )）及其整數倍頻率的正弦/餘弦波。
正交性：不同頻率的正弦/餘弦函數在積分意義下相互“垂直”，保證了分解的唯一性。

3.收斂條件（狄利克雷條件）

傅立葉級數收斂需滿足：

函數在周期内絕對可積；
函數在周期内有有限個極值點和有限個第一類間斷點（如跳躍間斷點）。

4.複數形式

更簡潔的表達式為： $$ f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{i frac{2pi n x}{T}} $$ 其中 ( cn = frac{1}{T} int{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i frac{2pi n x}{T}} dx )，利用了歐拉公式将正弦/餘弦轉化為複數指數形式。

5.應用場景

信號處理：分析聲音、電磁波等周期性信號的頻譜；
熱傳導方程：求解偏微分方程的邊界條件；
圖像壓縮：JPEG格式通過離散餘弦變換（類似傅立葉變換）壓縮數據；
量子力學：波函數的頻域表示。

補充說明

吉布斯現象：在間斷點附近，傅立葉級數的部分和會出現約9%的過沖，即使無限項也無法消除。
與傅立葉變換的區别：傅立葉級數針對周期函數，而傅立葉變換適用于非周期函數，将時域信號轉為連續頻域表示。

通過傅立葉級數，複雜波形被簡化為可分析的頻率成分，成為現代工程、物理和數學中不可或缺的工具。