傅立叶级数英文解释翻译、傅立叶级数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【电】 fourier series

分词翻译：

立的英语翻译：

establish; exist; immediate; stand

叶的英语翻译：

leaf; foliage; frondage; part of a historical period
【医】 foil; Fol.; folia; folium; frond; leaf; lobe; lobi; lobus; petalo-
phyllo-

级数的英语翻译：

progression; series
【经】 progression

专业解析

傅立叶级数（Fourier Series）是一种将周期函数分解为简单正弦和余弦函数之数学工具。其英文术语为"Fourier Series"，名称源于法国数学家让-巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）在热传导研究中提出的理论。

数学定义

对于周期为$2pi$的函数$f(x)$，其傅立叶级数展开式为： $$ f(x) = frac{a0}{2} + sum{n=1}^{infty} left( a_n cos nx + b_n sin nx right) $$ 其中系数计算公式为： $$ an = frac{1}{pi} int{-pi}^{pi} f(x)cos nx ,dx $$ $$ bn = frac{1}{pi} int{-pi}^{pi} f(x)sin nx ,dx $$

核心特性

正交性基础：三角函数系${1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ldots}$在区间$[-pi, pi]$上构成正交函数集
收敛条件：满足狄利克雷条件的周期函数可展开为傅立叶级数
频谱分析：系数$a_n$和$b_n$对应不同频率成分的幅值，广泛应用于信号处理

工程应用

在电气工程领域，傅立叶级数被用于：

交流电路分析（阻抗计算）
信号频谱分解
电力谐波研究
图像压缩算法（JPEG标准）

扩展形式

复数形式的傅立叶级数表示为： $$ f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{inx} $$ 其中$cn = frac{1}{2pi} int{-pi}^{pi} f(x)e^{-inx}dx$，这种形式在通信系统中更便于计算。

来源参考：

美国数学学会《数学术语词典》
MIT开放课程《信号与系统》教材
IEEE Xplore数据库《谐波分析工程应用》论文

网络扩展解释

傅立叶级数是一种将周期函数分解为一系列简单正弦和余弦函数之数学工具，其核心思想是用不同频率的谐波叠加来逼近复杂波形。以下是关键点解释：

1.基本定义

对于周期为 ( T ) 的函数 ( f(x) )，其傅立叶级数展开式为： $$ f(x) = frac{a0}{2} + sum{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi n x}{T}right) + b_n sinleft(frac{2pi n x}{T}right) right] $$ 其中：

( a_0 ) 是直流分量，表示函数的平均值；
( a_n ) 和 ( b_n ) 是傅立叶系数，计算公式为： $$ an = frac{2}{T} int{-T/2}^{T/2} f(x)cosleft(frac{2pi n x}{T}right) dx, quad bn = frac{2}{T} int{-T/2}^{T/2} f(x)sinleft(frac{2pi n x}{T}right) dx $$

2.物理意义

谐波分解：任何周期信号都可以分解为基频（( n=1 )）及其整数倍频率的正弦/余弦波。
正交性：不同频率的正弦/余弦函数在积分意义下相互“垂直”，保证了分解的唯一性。

3.收敛条件（狄利克雷条件）

傅立叶级数收敛需满足：

函数在周期内绝对可积；
函数在周期内有有限个极值点和有限个第一类间断点（如跳跃间断点）。

4.复数形式

更简洁的表达式为： $$ f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{i frac{2pi n x}{T}} $$ 其中 ( cn = frac{1}{T} int{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i frac{2pi n x}{T}} dx )，利用了欧拉公式将正弦/余弦转化为复数指数形式。

5.应用场景

信号处理：分析声音、电磁波等周期性信号的频谱；
热传导方程：求解偏微分方程的边界条件；
图像压缩：JPEG格式通过离散余弦变换（类似傅立叶变换）压缩数据；
量子力学：波函数的频域表示。

补充说明

吉布斯现象：在间断点附近，傅立叶级数的部分和会出现约9%的过冲，即使无限项也无法消除。
与傅立叶变换的区别：傅立叶级数针对周期函数，而傅立叶变换适用于非周期函数，将时域信号转为连续频域表示。

通过傅立叶级数，复杂波形被简化为可分析的频率成分，成为现代工程、物理和数学中不可或缺的工具。