傅裡葉變換定義英文解釋翻譯、傅裡葉變換定義的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯：
【計】 Fourier transform definition
分詞翻譯：
傅裡葉變換的英語翻譯：
【計】 Fourier transform
定義的英語翻譯：
define; definition; circumscription
【計】 DEF; define
【醫】 definition
專業解析
傅裡葉變換（Fourier Transform）是一種将信號從時域（時間域）轉換到頻域（頻率域）的數學工具。其核心思想是：任何複雜的周期或非周期函數（信號）都可以表示為一系列不同頻率、不同振幅的正弦（Sine）和餘弦（Cosine）基函數的加權和（或積分）。
數學定義 (Mathematical Definition)
-
連續傅裡葉變換 (Continuous Fourier Transform, CFT):
- 適用于連續的、非周期的時域信號 ( f(t) )。
- 正變換 (Forward Transform)：從時域 ( t ) 到頻域 ( omega ) (角頻率) 或 ( f ) (頻率)。
$$
F(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-jomega t}dt
$$
其中：
- ( F(omega) )：信號在頻域的表示（頻譜），是複數，包含幅度和相位信息。
- ( f(t) )：時域信號。
- ( j )：虛數單位 (( j = -1 ))。
- ( omega )：角頻率 (rad/s)，( omega = 2pi f )， ( f ) 是頻率 (Hz)。
- ( e^{-jomega t} )：複指數形式的基函數（代表特定頻率的旋轉向量）。
- 逆變換 (Inverse Transform)：從頻域 ( F(omega) ) 恢複時域 ( f(t) )。
$$
f(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{infty} F(omega) e^{jomega t}domega
$$
-
離散傅裡葉變換 (Discrete Fourier Transform, DFT):
- 適用于離散的、有限長的時域信號序列 ( x[n] ) (( n = 0, 1, ..., N-1 ))。
- 正變換：
$$
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j frac{2pi}{N} k n} quad (k = 0, 1, ..., N-1)
$$
其中：
- ( X[k] )：離散頻譜，複數序列，表示信號在離散頻率點 ( k ) 上的成分。
- ( x[n] )：離散時域信號序列。
- ( N )：信號長度（采樣點數）。
- ( k )：頻率索引（bin），對應頻率 ( f_k = k cdot frac{F_s}{N} )，( F_s ) 為采樣頻率。
- 逆變換：
$$
x[n] = frac{1}{N} sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j frac{2pi}{N} k n} quad (n = 0, 1, ..., N-1)
$$
物理意義與核心概念 (Physical Meaning & Core Concepts)
- 頻譜 (Spectrum): 傅裡葉變換的結果 ( F(omega) ) 或 ( X[k] ) 稱為信號的頻譜。它是一個複數函數（或序列），其幅度 (Magnitude) 表示不同頻率分量的強度（能量），其相位 (Phase) 表示不同頻率分量在時間起點上的相對位置。
- 頻率成分 (Frequency Components): 變換揭示了信號中包含哪些頻率的正弦/餘弦波，以及這些成分的相對貢獻（幅度）和相對時間關系（相位）。
- 基函數 (Basis Functions): 複指數函數 ( e^{jomega t} = cos(omega t) + jsin(omega t) ) 構成了變換的基。傅裡葉變換實質上是将信號投影到這組正交基函數上，投影系數就是頻譜值。
- 時域 vs. 頻域 (Time Domain vs. Frequency Domain): 傅裡葉變換建立了信號在時間維度（波形如何隨時間變化）和頻率維度（包含哪些頻率及其強度）之間的橋梁。分析信號的頻域特性往往比直接分析時域波形更能揭示其本質特征（如音調、諧波、噪聲頻率、系統帶寬等）。
關鍵參考來源 (Key References)
- MathWorld - Fourier Transform: 提供了傅裡葉變換及其變體的精确定義、性質和相關概念，是數學領域的權威線上百科全書。 (Source: Weisstein, Eric W. "Fourier Transform." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html)
- The Fourier Transform and its Applications (Book Reference): 羅納德·N·布雷斯韋爾的經典教材《傅裡葉變換及其應用》是深入理解傅裡葉變換理論、性質及工程應用的标杆之作。 (Source: Bracewell, Ronald N. The Fourier Transform and Its Applications. 3rd ed. McGraw-Hill, 2000. [經典教材])
- IEEE Signal Processing Society Resources: IEEE信號處理協會作為信號處理領域的頂級專業組織，其出版物（如IEEE Transactions on Signal Processing）和線上資源提供了傅裡葉變換在現代工程（如通信、圖像處理、音頻處理）中應用的最新權威研究和标準解讀。 (Source: IEEE Signal Processing Society. https://signalprocessingsociety.org/)
網絡擴展解釋
傅裡葉變換（Fourier Transform）是一種将信號從時域（時間域）轉換到頻域（頻率域）的數學工具，其核心思想是将任意複雜信號分解為不同頻率的正弦波（或複指數）的疊加。以下是其定義的詳細解釋：
1. 連續傅裡葉變換（Continuous Fourier Transform, CFT）
定義式：
$$
F(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dt
$$
- 輸入：時域信號 ( f(t) )（需滿足絕對可積條件）。
- 輸出：頻域表示 ( F(omega) )，描述信號中頻率 ( omega ) 分量的複振幅（包含幅度和相位信息）。
- 物理意義：通過積分将信號分解為無限多個複指數分量 ( e^{iomega t} ) 的線性組合。
逆變換：
$$
f(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{infty} F(omega) e^{iomega t} domega
$$
用于從頻域恢複原始時域信號。
2. 離散傅裡葉變換（Discrete Fourier Transform, DFT）
定義式：
$$
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-ifrac{2pi}{N}kn}
$$
- 輸入：離散時域序列 ( x[n] )（長度為 ( N )）。
- 輸出：離散頻域序列 ( X[k] )，表示信號在頻率 ( frac{2pi k}{N} ) 處的分量。
- 應用場景：數字信號處理（如音頻壓縮、圖像分析）。
逆變換：
$$
x[n] = frac{1}{N} sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{ifrac{2pi}{N}kn}
$$
3. 核心思想與意義
- 時域到頻域轉換：将信號從“隨時間變化”轉換為“隨頻率分布”，便于分析信號中的頻率成分（如濾波、去噪）。
- 正交基分解：複指數函數 ( e^{iomega t} ) 構成正交基，通過投影系數（即 ( F(omega) )）表征各頻率的貢獻。
- 能量守恒：滿足帕塞瓦爾定理，時域和頻域的總能量相等。
4. 關鍵參數
- 幅度譜：( |F(omega)| ) 表示頻率分量的強度。
- 相位譜：( arg(F(omega)) ) 表示頻率分量的時間偏移特性。
- 帶寬：信號在頻域中占據的頻率範圍。
5. 應用領域
- 信號處理：音頻壓縮（MP3）、圖像壓縮（JPEG）。
- 通信系統：調制解調、頻譜分析。
- 物理學：量子力學波函數分析、光學衍射。
若需進一步了解特定場景下的公式推導或應用案例，可結合具體問題補充說明。
分類
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