非齐次方程英文解释翻译、非齐次方程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 inhomogeneous equation

分词翻译：

非的英语翻译：

blame; evildoing; have to; non-; not; wrong
【计】 negate; NOT; not that
【医】 non-

齐的英语翻译：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【医】 trans-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

方程的英语翻译：

equation

专业解析

在数学领域，特别是微分方程和线性代数中，“非齐次方程”是一个核心概念。以下从汉英词典角度对其含义进行详细解释：

一、基本定义

中文术语：非齐次方程
英文术语： Nonhomogeneous Equation (或 Inhomogeneous Equation)
核心含义：指一个线性方程（常微分方程、偏微分方程或线性代数方程组）中，包含不等于零的自由项（或称非齐次项、源项或驱动项）。这个自由项使得方程的解不能仅由齐次解（满足对应齐次方程的解）构成，还需要一个特定的“特解”来满足非零项的要求。
- 关键对比：与其相对的是“齐次方程”，其自由项恒等于零。

二、数学形式与结构非齐次方程的一般形式可表示为： $$ L[y] = f(x) $$ 其中：

$L$ 是一个线性微分算子（例如，对于二阶常微分方程，$L[y] = a(x)frac{dy}{dx} + b(x)frac{dy}{dx} + c(x)y$）。
$y$ 是未知函数。
$f(x)$ 是已知函数，称为非齐次项或源项。
核心特征： $f(x) otequiv 0$ (即 $f(x)$ 不恒等于零)。

三、解的结构定理非齐次线性方程的解具有非常重要的结构特性： $$ y_{text{general}} = y_h + y_p $$ 其中：

$y_{text{general}}$：非齐次方程的通解。
$y_h$：对应齐次方程 $L[y] = 0$ 的通解（称为齐次解或补函数）。
$y_p$：原非齐次方程 $L[y] = f(x)$ 的任何一个特解（称为特解）。这个定理表明，求解非齐次方程的关键步骤是：

求解对应的齐次方程 $L[y] = 0$，得到齐次通解 $y_h$。
寻找非齐次方程的一个特解 $y_p$。
将两者相加得到非齐次方程的通解 $y_{text{general}}$。

四、物理意义与应用非齐次项 $f(x)$ 通常代表了系统受到的外部影响或输入：

在物理系统中：可能代表外力（力学）、电荷源或电流源（电磁学）、热源（热传导）等。
在工程系统中：可能代表控制输入、干扰信号等。因此，非齐次方程广泛用于建模受外部激励或驱动的系统。

五、求解方法寻找特解 $y_p$ 的方法取决于非齐次项 $f(x)$ 的形式和方程的系数：

待定系数法：适用于 $f(x)$ 是多项式、指数函数、正弦/余弦函数或它们的组合，且方程是常系数线性微分方程。
常数变易法：适用于变系数线性微分方程，或当待定系数法不适用时。
格林函数法：用于求解具有特定边界条件的非齐次偏微分方程。
积分变换法：如拉普拉斯变换或傅里叶变换，常用于求解常系数线性微分方程（特别是初值问题）。

来源参考：

Khan Academy - Differential Equations: 提供关于齐次与非齐次微分方程的清晰讲解和示例。 (https://www.khanacademy.org/math/differential-equations)
Paul's Online Math Notes - Differential Equations: 包含对非齐次二阶常微分方程解的结构和求解方法（待定系数法、参数变易法）的详细论述和大量例题。 (https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx)
MIT OpenCourseWare - Linear Algebra: Gilbert Strang 教授的课程材料深入讲解了线性代数中齐次和非齐次线性方程组（$Amathbf{x} = mathbf{b}$）的解的结构（解空间、特解、通解）。 (https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/)
Wolfram MathWorld - Nonhomogeneous Linear Ordinary Differential Equation: 提供严谨的数学定义和公式。 (https://mathworld.wolfram.com/NonhomogeneousLinearOrdinaryDifferentialEquation.html)

网络扩展解释

非齐次方程是数学中常见的一类方程，其核心特征是方程中包含非零的常数项或特定函数项。它在微分方程、线性代数等领域有广泛应用。以下是详细解释：

1. 基本定义

非齐次方程是相对于齐次方程而言的：

齐次方程：所有项均为未知函数或其导数的线性组合，且等式右边为零。
示例：$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$。
非齐次方程：方程右侧包含一个非零项（常数或函数），形式为：
$$Ly = f(x)$$
其中 $L$ 是线性微分算子，$f(x) eq 0$。

2. 常见类型

（1）微分方程中的非齐次方程

一阶线性方程：
$$y' + P(x)y = Q(x) quad (Q(x) eq 0)$$
高阶线性方程：
$$y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + dots + a_0(x)y = f(x)$$

（2）线性代数中的非齐次方程组

形式为 $Amathbf{x} = mathbf{b}$，其中 $mathbf{b} eq mathbf{0}$，$A$ 是系数矩阵。

3. 解的结构

非齐次方程的解由两部分叠加组成：

齐次解：对应齐次方程 $Ly = 0$ 的通解 $y_h$。
特解：非齐次方程的一个特解 $y_p$。
通解形式：
$$y = y_h + y_p$$

4. 解法示例（以微分方程为例）

步骤1：求齐次解

解齐次方程 $y'' + y = 0$，其特征方程为 $r + 1 = 0$，得通解：
$$y_h = C_1 cos x + C_2 sin x$$

步骤2：求特解

假设原方程为 $y'' + y = sin x$，根据非齐次项 $sin x$ 的形式，假设特解为：
$$y_p = x(A cos x + B sin x)$$
通过代入原方程并比较系数，确定 $A$ 和 $B$，最终得到特解。

5. 实际意义

非齐次方程常用于描述受外部激励的系统，例如：

电路中的强迫振荡（非齐次项代表外部电压源）。
机械振动中受外力作用的系统。

非齐次方程的核心特点是存在非零的“驱动项” $f(x)$，其解需要结合齐次解和特解。理解这类方程对分析物理、工程等实际问题至关重要。