兩對角線矩陣英文解釋翻譯、兩對角線矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 bidiagonal matrix

分詞翻譯：

兩的英語翻譯：

a few; both; tael; twain; two
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; amphi-; bi-; di-; diplo-
【經】 tael

對角線的英語翻譯：

catercorner; diagonal
【機】 diagonal line

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

兩對角線矩陣 (Two-Diagonal Matrix) 指在矩陣中僅有兩條對角線上的元素非零，其餘元素均為零的矩陣。根據兩條對角線的位置不同，主要有以下兩種類型：

1. 對角矩陣 (Diagonal Matrix)

這是最常見的形式，特指主對角線 (Main Diagonal) 上的元素非零，而其他所有位置均為零的方陣。其數學定義為：

若矩陣 ( A = [a{ij}]{n times n} ) 滿足：

[ a_{ij} = 0 quad text{當} quad i eq j ]

則稱 ( A ) 為對角矩陣。例如：

[ begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 end{bmatrix} ]

應用：對角矩陣在解線性方程組、特征值計算中具有高效性，因其乘法與求逆運算均可簡化為對角線元素的逐元素操作。

2. 雙對角矩陣 (Bidiagonal Matrix)

分為上雙對角矩陣 (Upper Bidiagonal) 和下雙對角矩陣 (Lower Bidiagonal)：

上雙對角矩陣：僅主對角線（( i=j )）和緊鄰的上次對角線（( i=j-1 )）元素非零。
例如：

[ begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 0 & 2 & 3 0 & 0 & 5 end{bmatrix} ]

下雙對角矩陣：僅主對角線（( i=j )）和緊鄰的下次對角線（( i=j+1 )）元素非零。
例如：

[ begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 2 & 7 & 0 0 & 4 & 9 end{bmatrix} ]

應用：雙對角矩陣常見于數值線性代數，如矩陣的奇異值分解（SVD）中通過Householder變換将矩陣約簡為雙對角形式。

權威參考來源：

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. （對角矩陣與雙對角矩陣的數值算法）
Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press. （矩陣分解與對角化理論）

網絡擴展解釋

“兩對角線矩陣”在數學中通常被稱為雙對角矩陣（Bidiagonal Matrix），指的是僅主對角線以及相鄰的一條上對角線或下對角線包含非零元素的矩陣。根據非零元素的位置，可以分為兩類：

1.上雙對角矩陣（Upper Bidiagonal Matrix）

定義：非零元素僅出現在主對角線（從左上到右下）和緊鄰主對角線上方的那條對角線（即第一條上對角線）。
示例： $$ begin{pmatrix} a{11} & a{12} & 0& cdots & 0 0& a{22} & a{23} & cdots & 0 0& 0& a{33} & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & a{n-1,n} 0& 0& 0& 0& a_{nn} end{pmatrix} $$

2.下雙對角矩陣（Lower Bidiagonal Matrix）

定義：非零元素僅出現在主對角線和緊鄰主對角線下方的第一條下對角線。
示例： $$ begin{pmatrix} a{11} & 0& 0& cdots & 0 a{21} & a{22} & 0& cdots & 0 0& a{32} & a{33} & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & 0 0& 0& 0& a{n,n-1} & a_{nn} end{pmatrix} $$

3.特點與應用

稀疏性：雙對角矩陣是稀疏矩陣的一種，存儲和計算時效率較高。
數值計算：在數值線性代數中，許多矩陣分解（如奇異值分解、QR分解）會将一般矩陣轉換為雙對角形式以簡化運算。

4.與其他矩陣的區别

三對角矩陣：非零元素出現在主對角線及上下兩條相鄰對角線。
對角矩陣：僅主對角線有非零元素。

若需進一步了解其具體算法或應用場景（如奇異值分解中的中間步驟），可參考數值計算相關教材或文獻。