方向導數英文解釋翻譯、方向導數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 directional derivative

分詞翻譯：

方的英語翻譯：

direction; power; side; square

向導的英語翻譯：

fugleman; guide
【計】 wizard

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

在數學分析中，方向導數（Directional Derivative）是描述多元函數沿特定方向變化率的重要概念。以下是其詳細解釋：

一、定義與數學表達

方向導數表示函數 ( f(x,y) ) 在點 ( (x_0, y0) ) 沿單位向量 ( mathbf{u} = (a, b) ) 方向的變化率。其定義為： $$ frac{partial f}{partial mathbf{u}} = lim{h to 0} frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h} $$ 若函數可微，方向導數可通過梯度計算： $$ frac{partial f}{partial mathbf{u}} = abla f cdot mathbf{u} = f_x a + f_y b $$ 其中 ( abla f = (f_x, f_y) ) 為梯度向量。

二、漢英術語對照

方向導數：Directional Derivative
梯度：Gradient（( abla f )）
單位向量：Unit Vector（( mathbf{u} )）
偏導數：Partial Derivative（( f_x, f_y )）

三、幾何意義

方向導數反映函數在指定方向的瞬時變化速率。例如：

若 ( abla f cdot mathbf{u} > 0 )，函數沿 ( mathbf{u} ) 方向遞增；
若 ( abla f cdot mathbf{u} < 0 )，函數沿 ( mathbf{u} ) 方向遞減；
最大值出現在 ( mathbf{u} ) 與梯度方向一緻時，值為 ( | abla f| ).

四、應用示例

考慮函數 ( f(x,y) = x + y ) 在點 ( (1,2) ) 沿向量 ( mathbf{v} = (3,4) ) 的方向導數：

單位化方向： ( mathbf{u} = left( frac{3}{5}, frac{4}{5} right) )
計算梯度： ( abla f = (2x, 2y) rightarrow (2,4) )
方向導數： ( (2,4) cdot left( frac{3}{5}, frac{4}{5} right) = frac{6}{5} + frac{16}{5} = 4.4 )

五、權威參考文獻

《數學分析》（華東師範大學數學系編）
高等教育出版社，第4版，§12.6 "方向導數與梯度"。

Thomas' Calculus（Pearson）
Section 14.5 "Directional Derivatives and Gradient Vectors".

《微積分學教程》（菲赫金哥爾茨著）
第一卷，§4.4 "方向導數與梯度場理論"。

注：本文定義與公式遵循國際标準數學教材，參考文獻均為經典學術著作。

網絡擴展解釋

方向導數是多元函數在某一點沿某一特定方向的變化率，用于描述函數在該方向上的瞬時變化快慢。以下是詳細解釋：

1.數學定義

對于函數( f(x,y) )在點( (x_0, y0) )處，沿方向向量( mathbf{v} = (a, b) )的方向導數定義為： $$ D{mathbf{v}} f(x_0, y0) = lim{t to 0} frac{f(x_0 + ta, y_0 + tb) - f(x_0, y_0)}{t} $$ 其中( t )為步長，方向向量需為單位向量（即( |mathbf{v}| = sqrt{a + b} = 1 )）。

2.與梯度的關系

方向導數可通過梯度計算： $$ D_{mathbf{v}} f = abla f cdot mathbf{v} $$ 其中：

梯度( abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y} right) )是函數在該點的最大變化率方向；
( mathbf{v} )需為單位方向向量。

示例：若( f(x,y) = x + y )，在點( (1,2) )沿方向( (1,1) )的方向導數：

梯度( abla f = (2x, 2y) = (2, 4) )；
單位方向向量( mathbf{v} = left( frac{1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}} right) )；
方向導數( D_{mathbf{v}} f = 2 cdot frac{1}{sqrt{2}} + 4 cdot frac{1}{sqrt{2}} = 3sqrt{2} )。

3.幾何意義

方向導數表示函數沿某方向的“斜率”。梯度方向是方向導數最大的方向，其模長( | abla f| )為最大變化率。

4.與偏導數的聯繫

偏導數是方向導數的特例：

( frac{partial f}{partial x} )是沿( x )-軸正方向的方向導數；
( frac{partial f}{partial y} )是沿( y )-軸正方向的方向導數。

5.應用場景

方向導數用于優化問題（如梯度下降法）、物理場分析（如溫度場沿某方向的變化率）等。

方向導數量化了多元函數沿任意方向的局部變化率，依賴梯度與方向的點積，是分析多變量函數行為的重要工具。