方向导数英文解释翻译、方向导数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 directional derivative

分词翻译：

方的英语翻译：

direction; power; side; square

向导的英语翻译：

fugleman; guide
【计】 wizard

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

在数学分析中，方向导数（Directional Derivative）是描述多元函数沿特定方向变化率的重要概念。以下是其详细解释：

一、定义与数学表达

方向导数表示函数 ( f(x,y) ) 在点 ( (x_0, y0) ) 沿单位向量 ( mathbf{u} = (a, b) ) 方向的变化率。其定义为： $$ frac{partial f}{partial mathbf{u}} = lim{h to 0} frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h} $$ 若函数可微，方向导数可通过梯度计算： $$ frac{partial f}{partial mathbf{u}} = abla f cdot mathbf{u} = f_x a + f_y b $$ 其中 ( abla f = (f_x, f_y) ) 为梯度向量。

二、汉英术语对照

方向导数：Directional Derivative
梯度：Gradient（( abla f )）
单位向量：Unit Vector（( mathbf{u} )）
偏导数：Partial Derivative（( f_x, f_y )）

三、几何意义

方向导数反映函数在指定方向的瞬时变化速率。例如：

若 ( abla f cdot mathbf{u} > 0 )，函数沿 ( mathbf{u} ) 方向递增；
若 ( abla f cdot mathbf{u} < 0 )，函数沿 ( mathbf{u} ) 方向递减；
最大值出现在 ( mathbf{u} ) 与梯度方向一致时，值为 ( | abla f| ).

四、应用示例

考虑函数 ( f(x,y) = x + y ) 在点 ( (1,2) ) 沿向量 ( mathbf{v} = (3,4) ) 的方向导数：

单位化方向： ( mathbf{u} = left( frac{3}{5}, frac{4}{5} right) )
计算梯度： ( abla f = (2x, 2y) rightarrow (2,4) )
方向导数： ( (2,4) cdot left( frac{3}{5}, frac{4}{5} right) = frac{6}{5} + frac{16}{5} = 4.4 )

五、权威参考文献

《数学分析》（华东师范大学数学系编）
高等教育出版社，第4版，§12.6 "方向导数与梯度"。

Thomas' Calculus（Pearson）
Section 14.5 "Directional Derivatives and Gradient Vectors".

《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨著）
第一卷，§4.4 "方向导数与梯度场理论"。

注：本文定义与公式遵循国际标准数学教材，参考文献均为经典学术著作。

网络扩展解释

方向导数是多元函数在某一点沿某一特定方向的变化率，用于描述函数在该方向上的瞬时变化快慢。以下是详细解释：

1.数学定义

对于函数( f(x,y) )在点( (x_0, y0) )处，沿方向向量( mathbf{v} = (a, b) )的方向导数定义为： $$ D{mathbf{v}} f(x_0, y0) = lim{t to 0} frac{f(x_0 + ta, y_0 + tb) - f(x_0, y_0)}{t} $$ 其中( t )为步长，方向向量需为单位向量（即( |mathbf{v}| = sqrt{a + b} = 1 )）。

2.与梯度的关系

方向导数可通过梯度计算： $$ D_{mathbf{v}} f = abla f cdot mathbf{v} $$ 其中：

梯度( abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y} right) )是函数在该点的最大变化率方向；
( mathbf{v} )需为单位方向向量。

示例：若( f(x,y) = x + y )，在点( (1,2) )沿方向( (1,1) )的方向导数：

梯度( abla f = (2x, 2y) = (2, 4) )；
单位方向向量( mathbf{v} = left( frac{1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}} right) )；
方向导数( D_{mathbf{v}} f = 2 cdot frac{1}{sqrt{2}} + 4 cdot frac{1}{sqrt{2}} = 3sqrt{2} )。

3.几何意义

方向导数表示函数沿某方向的“斜率”。梯度方向是方向导数最大的方向，其模长( | abla f| )为最大变化率。

4.与偏导数的联系

偏导数是方向导数的特例：

( frac{partial f}{partial x} )是沿( x )-轴正方向的方向导数；
( frac{partial f}{partial y} )是沿( y )-轴正方向的方向导数。

5.应用场景

方向导数用于优化问题（如梯度下降法）、物理场分析（如温度场沿某方向的变化率）等。

方向导数量化了多元函数沿任意方向的局部变化率，依赖梯度与方向的点积，是分析多变量函数行为的重要工具。