德·摩根定理英文解釋翻譯、德·摩根定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 De Morgan's Law

例句：

他婚後過着合乎道德規範的生活。
He lived a moral life after marriage.
我對宗教問題和道德問題不感興趣。
I am unconcerned with questions of religion or morality.
他的行為違背了社會行為的道德準則。
His behavior transgressed the moral rules of the social conduct.
道德标準是否有所改進？
Have standards of morality improved?
我們對道德标準看法不一緻。
We differ about moral standards.
作為清教徒，他的道德和宗教觀念都很嚴格。
As a Puritan, he is strict in moral and religion.
他們正在讨論堕胎的道德性。
They are discussing the morality of abortion.
她是美德的典範。
She is a paragon of virtue.

分詞翻譯：

摩的英語翻譯：

rub; scrape; stroke

根的英語翻譯：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【醫】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

德·摩根定理（De Morgan's Theorems）是布爾代數與集合論中的基礎定律，描述了邏輯運算“與”（AND）、“或”（OR）及“非”（NOT）之間的轉換關系，同時也在集合的補集、交集與并集運算中具有對應形式。以下是其中英文對照的詳細解釋：

一、德·摩根定理的定義

1. 布爾代數形式（邏輯門層面）

中文表述：
兩個變量的“與”運算取反，等價于各自取反後的“或”運算；兩個變量的“或”運算取反，等價于各自取反後的“與”運算。

公式表達：

$$

eg(A land B) = eg A lor eg B

eg(A lor B) = eg A land eg B $$

英文表述（Cambridge Dictionary of Mathematics）：
"The complement of a conjunction is the disjunction of the complements, and the complement of a disjunction is the conjunction of the complements."

Formula:

$$ overline{A cdot B} = bar{A} + bar{B} overline{A + B} = bar{A} cdot bar{B} $$

2. 集合論形式

中文表述：
兩個集合交集的補集等于各自補集的并集；兩個集合并集的補集等于各自補集的交集。

公式表達：

$$ (A cap B)^c = A^c cup B^c (A cup B)^c = A^c cap B^c $$

英文表述（Wolfram MathWorld）：
"The complement of an intersection is the union of the complements, and the complement of a union is the intersection of the complements."

Formula:

$$ (A cap B)^{complement} = A^{complement} cup B^{complement} (A cup B)^{complement} = A^{complement} cap B^{complement} $$

二、驗證與實例

**真值表驗證（以 (

eg(A land B) = eg A lor eg B) 為例）** | (A) | (B) | (A land B) | ( eg(A land B)) | ( eg A) | ( eg B) | ( eg A lor eg B) | |-------|-------|--------------|---------------------|------------|------------|------------------------| | 0 | 0 | 0| 1 | 1| 1| 1| | 0 | 1 | 0| 1 | 1| 0| 1| | 1 | 0 | 0| 1 | 0| 1| 1| | 1 | 1 | 1| 0 | 0| 0| 0|

結果完全一緻，定理成立。

集合論示例

設全集 (U = {1,2,3,4})，子集 (A = {1,2}), (B = {2,3})。
- ((A cap B)^c = {2}^c = {1,3,4})
- (A^c cup B^c = {3,4} cup {1,4} = {1,3,4})
  → 二者相等，驗證定理。

三、應用場景

數字電路設計
用于簡化邏輯門電路（如将AND-OR結構轉換為NAND-NAND結構），降低芯片複雜度。

編程條件優化
轉換複雜條件語句（如 !(a && b) → !a || !b），提升代碼可讀性與執行效率。

概率論與集合計算
推導事件概率關系（如 (P(A cap B)^c = P(A^c cup B^c))）。

四、權威參考來源

Wolfram MathWorld
De Morgan's Laws（定理的數學形式化定義及證明）。

Stanford Encyclopedia of Philosophy
De Morgan’s Logic（曆史背景與邏輯學意義）。

Cambridge Dictionary of Mathematics（ISBN 978-0521818056）
詞條 "De Morgan laws"（标準英文術語釋義）。

注：定理命名自19世紀英國數學家奧古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan），其著作《Formal Logic》（1847）首次系統闡述該規律。

網絡擴展解釋

德·摩根定理（De Morgan's Laws）是邏輯學和集合論中的基本定律，由英國數學家奧古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）在19世紀提出。它描述了邏輯非運算（否定）與合取（邏輯與）、析取（邏輯或）之間的轉換關系，以及在集合論中補集、交集、并集之間的對應關系。

邏輯學中的德·摩根定理

在命題邏輯中，德·摩根定理分為兩個部分：

否定合取的分解
$$ eg (A land B) equiv eg A lor eg B$$
即：“非（A且B）”等價于“非A或非B”。
例子：如果命題“今天下雨且刮風”為假，則意味着“今天不下雨或不刮風”。
否定析取的分解
$$ eg (A lor B) equiv eg A land eg B$$
即：“非（A或B）”等價于“非A且非B”。
例子：如果命題“今天晴天或溫暖”為假，則意味着“今天不是晴天且不溫暖”。

集合論中的德·摩根定理

在集合運算中，定理表現為補集與并集、交集的轉換：

并集補集的分解
$$(A cup B)^c = A^c cap B^c$$
即：A和B的并集的補集等于A的補集與 B的補集的交集。
例子：所有“不屬于貓或狗的動物” = 所有“不是貓的動物且不是狗的動物”。
交集補集的分解
$$(A cap B)^c = A^c cup B^c$$
即：A和B的交集的補集等于A的補集或 B的補集的并集。
例子：所有“不同時是紅色和圓形的物體” = 所有“不是紅色的物體或不是圓形的物體”。

應用場景

邏輯簡化：在編程和電路設計中，用于簡化複雜的邏輯表達式。
例如：将條件 !(x > 5 && y < 3) 改寫為 x <= 5 || y >= 3。
數學證明：在集合論和概率論中用于推導補集的性質。
自然語言處理：解析否定句的語義，如“既不…也不…”的結構。

重要性

德·摩根定理揭示了邏輯運算和集合運算的對稱性，是構建布爾代數、數字電路和算法邏輯的基礎工具。通過它，可以更高效地處理涉及否定的複雜命題或集合關系。