德·摩根定理英文解释翻译、德·摩根定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 De Morgan's Law

例句：

他婚后过着合乎道德规范的生活。
He lived a moral life after marriage.
我对宗教问题和道德问题不感兴趣。
I am unconcerned with questions of religion or morality.
他的行为违背了社会行为的道德准则。
His behavior transgressed the moral rules of the social conduct.
道德标准是否有所改进？
Have standards of morality improved?
我们对道德标准看法不一致。
We differ about moral standards.
作为清教徒，他的道德和宗教观念都很严格。
As a Puritan, he is strict in moral and religion.
他们正在讨论堕胎的道德性。
They are discussing the morality of abortion.
她是美德的典范。
She is a paragon of virtue.

分词翻译：

摩的英语翻译：

rub; scrape; stroke

根的英语翻译：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【医】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

德·摩根定理（De Morgan's Theorems）是布尔代数与集合论中的基础定律，描述了逻辑运算“与”（AND）、“或”（OR）及“非”（NOT）之间的转换关系，同时也在集合的补集、交集与并集运算中具有对应形式。以下是其中英文对照的详细解释：

一、德·摩根定理的定义

1. 布尔代数形式（逻辑门层面）

中文表述：
两个变量的“与”运算取反，等价于各自取反后的“或”运算；两个变量的“或”运算取反，等价于各自取反后的“与”运算。

公式表达：

$$

eg(A land B) = eg A lor eg B

eg(A lor B) = eg A land eg B $$

英文表述（Cambridge Dictionary of Mathematics）：
"The complement of a conjunction is the disjunction of the complements, and the complement of a disjunction is the conjunction of the complements."

Formula:

$$ overline{A cdot B} = bar{A} + bar{B} overline{A + B} = bar{A} cdot bar{B} $$

2. 集合论形式

中文表述：
两个集合交集的补集等于各自补集的并集；两个集合并集的补集等于各自补集的交集。

公式表达：

$$ (A cap B)^c = A^c cup B^c (A cup B)^c = A^c cap B^c $$

英文表述（Wolfram MathWorld）：
"The complement of an intersection is the union of the complements, and the complement of a union is the intersection of the complements."

Formula:

$$ (A cap B)^{complement} = A^{complement} cup B^{complement} (A cup B)^{complement} = A^{complement} cap B^{complement} $$

二、验证与实例

**真值表验证（以 (

eg(A land B) = eg A lor eg B) 为例）** | (A) | (B) | (A land B) | ( eg(A land B)) | ( eg A) | ( eg B) | ( eg A lor eg B) | |-------|-------|--------------|---------------------|------------|------------|------------------------| | 0 | 0 | 0| 1 | 1| 1| 1| | 0 | 1 | 0| 1 | 1| 0| 1| | 1 | 0 | 0| 1 | 0| 1| 1| | 1 | 1 | 1| 0 | 0| 0| 0|

结果完全一致，定理成立。

集合论示例

设全集 (U = {1,2,3,4})，子集 (A = {1,2}), (B = {2,3})。
- ((A cap B)^c = {2}^c = {1,3,4})
- (A^c cup B^c = {3,4} cup {1,4} = {1,3,4})
  → 二者相等，验证定理。

三、应用场景

数字电路设计
用于简化逻辑门电路（如将AND-OR结构转换为NAND-NAND结构），降低芯片复杂度。

编程条件优化
转换复杂条件语句（如 !(a && b) → !a || !b），提升代码可读性与执行效率。

概率论与集合计算
推导事件概率关系（如 (P(A cap B)^c = P(A^c cup B^c))）。

四、权威参考来源

Wolfram MathWorld
De Morgan's Laws（定理的数学形式化定义及证明）。

Stanford Encyclopedia of Philosophy
De Morgan’s Logic（历史背景与逻辑学意义）。

Cambridge Dictionary of Mathematics（ISBN 978-0521818056）
词条 "De Morgan laws"（标准英文术语释义）。

注：定理命名自19世纪英国数学家奥古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan），其著作《Formal Logic》（1847）首次系统阐述该规律。

网络扩展解释

德·摩根定理（De Morgan's Laws）是逻辑学和集合论中的基本定律，由英国数学家奥古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）在19世纪提出。它描述了逻辑非运算（否定）与合取（逻辑与）、析取（逻辑或）之间的转换关系，以及在集合论中补集、交集、并集之间的对应关系。

逻辑学中的德·摩根定理

在命题逻辑中，德·摩根定理分为两个部分：

否定合取的分解
$$ eg (A land B) equiv eg A lor eg B$$
即：“非（A且B）”等价于“非A或非B”。
例子：如果命题“今天下雨且刮风”为假，则意味着“今天不下雨或不刮风”。
否定析取的分解
$$ eg (A lor B) equiv eg A land eg B$$
即：“非（A或B）”等价于“非A且非B”。
例子：如果命题“今天晴天或温暖”为假，则意味着“今天不是晴天且不温暖”。

集合论中的德·摩根定理

在集合运算中，定理表现为补集与并集、交集的转换：

并集补集的分解
$$(A cup B)^c = A^c cap B^c$$
即：A和B的并集的补集等于A的补集与 B的补集的交集。
例子：所有“不属于猫或狗的动物” = 所有“不是猫的动物且不是狗的动物”。
交集补集的分解
$$(A cap B)^c = A^c cup B^c$$
即：A和B的交集的补集等于A的补集或 B的补集的并集。
例子：所有“不同时是红色和圆形的物体” = 所有“不是红色的物体或不是圆形的物体”。

应用场景

逻辑简化：在编程和电路设计中，用于简化复杂的逻辑表达式。
例如：将条件 !(x > 5 && y < 3) 改写为 x <= 5 || y >= 3。
数学证明：在集合论和概率论中用于推导补集的性质。
自然语言处理：解析否定句的语义，如“既不…也不…”的结构。

重要性

德·摩根定理揭示了逻辑运算和集合运算的对称性，是构建布尔代数、数字电路和算法逻辑的基础工具。通过它，可以更高效地处理涉及否定的复杂命题或集合关系。