辭典式積英文解釋翻譯、辭典式積的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 lexicographic algorithm

分詞翻譯：

辭典的英語翻譯：

glossary; gradus; lexicon; thesaurus
【計】 lexicon

式的英語翻譯：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【醫】 F.; feature; formula; Ty.; type

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

專業解析

辭典式積（Lexicographic Product），又稱字典序積，是集合論和序理論中的一個重要概念，用于在笛卡爾積上定義一種特定的全序關系。其核心思想是模仿字典中單詞的排序方式。

定義

給定兩個全序集 ((A, leq_A)) 和 ((B, leqB))，它們的辭典式積 (A times{text{lex}} B) 定義為笛卡爾積 (A times B) 上的一個全序關系。對于任意元素 ((a_1, b_1), (a_2, b_2) in A times B)： [ (a_1, b1) <{text{lex}} (a_2, b_2) iff begin{cases} a_1 <_A a_2 & text{或} a_1 = a_2 text{ 且 } b_1 <_B b2. end{cases} ] 該定義可遞歸推廣到有限個全序集的積。例如，三個集合的辭典式積定義為 ((A times{text{lex}} B) times_{text{lex}} C)，優先級從左到右遞減。

關鍵性質

全序性：若 (A) 和 (B) 均為全序集，則辭典式積也是全序集。
非交換性：順序影響結果，即 (A times{text{lex}} B) 與 (B times{text{lex}} A) 一般不同構。例如，(mathbb{N} times{text{lex}} {0,1}) 的序型為 (omega cdot 2)，而 ({0,1} times{text{lex}} mathbb{N}) 的序型為 (2 cdot omega = omega)。
無限序列處理：在無限維情況下，辭典式積需通過選擇公理或約定（如有限支持）定義，以避免悖論。

應用場景

數學基礎：用于構造具有特定序型的集合（如康托爾集的有序結構）。
計算機科學：定義字符串的字典序（如Unicode編碼排序）。
經濟學：在偏好理論中描述字典序偏好（Lexicographic Preference），即消費者優先考慮某一屬性（如質量），僅當屬性相同時才比較下一屬性（如價格）。

與笛卡爾積的區别

辭典式積強調分量優先級，而普通笛卡爾積（無附加序）僅為無序集合對。例如，笛卡爾積 (mathbb{R} times mathbb{R}) 可賦予辭典序、乘積序（逐分量比較）或歐氏拓撲，不同結構對應不同數學對象。

參考資料

Jech, T. Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer.
Rosenstein, J. Linear Orderings. Academic Press.
Kunen, K. Set Theory. College Publications.
Mas-Colell, A. Microeconomic Theory. Oxford University Press.
Munkres, J. Topology. Pearson.

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