辞典式积英文解释翻译、辞典式积的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 lexicographic algorithm

分词翻译：

辞典的英语翻译：

glossary; gradus; lexicon; thesaurus
【计】 lexicon

式的英语翻译：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【医】 F.; feature; formula; Ty.; type

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

专业解析

辞典式积（Lexicographic Product），又称字典序积，是集合论和序理论中的一个重要概念，用于在笛卡尔积上定义一种特定的全序关系。其核心思想是模仿字典中单词的排序方式。

定义

给定两个全序集 ((A, leq_A)) 和 ((B, leqB))，它们的辞典式积 (A times{text{lex}} B) 定义为笛卡尔积 (A times B) 上的一个全序关系。对于任意元素 ((a_1, b_1), (a_2, b_2) in A times B)： [ (a_1, b1) <{text{lex}} (a_2, b_2) iff begin{cases} a_1 <_A a_2 & text{或} a_1 = a_2 text{ 且 } b_1 <_B b2. end{cases} ] 该定义可递归推广到有限个全序集的积。例如，三个集合的辞典式积定义为 ((A times{text{lex}} B) times_{text{lex}} C)，优先级从左到右递减。

关键性质

全序性：若 (A) 和 (B) 均为全序集，则辞典式积也是全序集。
非交换性：顺序影响结果，即 (A times{text{lex}} B) 与 (B times{text{lex}} A) 一般不同构。例如，(mathbb{N} times{text{lex}} {0,1}) 的序型为 (omega cdot 2)，而 ({0,1} times{text{lex}} mathbb{N}) 的序型为 (2 cdot omega = omega)。
无限序列处理：在无限维情况下，辞典式积需通过选择公理或约定（如有限支持）定义，以避免悖论。

应用场景

数学基础：用于构造具有特定序型的集合（如康托尔集的有序结构）。
计算机科学：定义字符串的字典序（如Unicode编码排序）。
经济学：在偏好理论中描述字典序偏好（Lexicographic Preference），即消费者优先考虑某一属性（如质量），仅当属性相同时才比较下一属性（如价格）。

与笛卡尔积的区别

辞典式积强调分量优先级，而普通笛卡尔积（无附加序）仅为无序集合对。例如，笛卡尔积 (mathbb{R} times mathbb{R}) 可赋予辞典序、乘积序（逐分量比较）或欧氏拓扑，不同结构对应不同数学对象。

参考资料

Jech, T. Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer.
Rosenstein, J. Linear Orderings. Academic Press.
Kunen, K. Set Theory. College Publications.
Mas-Colell, A. Microeconomic Theory. Oxford University Press.
Munkres, J. Topology. Pearson.

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