代數系統英文解釋翻譯、代數系統的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 algebra system; algebraic system

分詞翻譯：

代的英語翻譯：

era; generation; take the place of
【電】 generation

數系的英語翻譯：

【計】 numeral system; numerical system

統的英語翻譯：

all; gather into one; interconnected system; together; tube-shaped part

專業解析

代數系統（Algebraic System）的漢英詞典釋義與數學解析

定義

代數系統（Algebraic System）指由非空集合與定義在該集合上的一個或多個運算構成的數學結構。其核心是通過運算規則研究集合元素的抽象關系，是抽象代數的基本研究對象。

中文術語：代數系統（Dài shù xì tǒng）
英文對應：Algebraic System（或 Algebraic Structure）

核心特征

載體集合（Carrier Set）
系統的基礎是非空集合 ( A )，元素可以是數、矩陣、函數等。

運算（Operations）
在 ( A ) 上定義封閉運算（如加法、乘法），滿足：對任意 ( a, b in A )，運算結果 ( a circ b in A )。

公理約束（Axioms）
運算需滿足特定公理，如結合律、交換律或存在單位元（如群、環、域的定義）。

常見類型與實例

群（Group）：集合+一個二元運算（如整數集與加法）。
環（Ring）：集合+兩個二元運算（如整數集與加法、乘法）。
域（Field）：具備加減乘除運算的環（如有理數集）。

應用領域

計算機科學：自動機理論、形式語言（如半群用于語法分析）。
密碼學：有限域應用于橢圓曲線加密。
物理學：李群（Lie groups）描述連續對稱性。

權威參考來源

《數學辭海》（中國）
定義代數系統為“具有運算的集合”，強調運算封閉性與公理化。

來源：高等教育出版社，ISBN 9787040374711（第3卷，代數分支）。

《Springer Encyclopedia of Mathematics》
将代數系統歸類為“通過公理定義的數學對象”，涵蓋群、環、模等結構。

來源：Springer, 鍊接（檢索日期：2025年）。

《近世代數基礎》（張禾瑞著）
系統闡述代數結構的構造與同态映射，經典教材。

來源：高等教育出版社，ISBN 9787040384728（第2章）。

注：以上内容綜合數學詞典定義、學術教材及權威數學百科，确保術語準确性與學術嚴謹性。

網絡擴展解釋

代數系統（又稱代數結構）是數學和計算機科學中的核心概念，指一個非空集合及其上定義的一個或多個運算，這些運算滿足特定公理規則。其核心目的是通過抽象化運算規則，研究不同數學對象的共同性質。

代數系統的三要素

載體集合
即代數系統的基礎元素集合，例如整數集、實數集或矩陣集合。
運算
定義在集合上的操作，可以是：
- 二元運算（如加法、乘法）
- 一元運算（如取負數）
- 零元運算（如常數元素，如單位元0或1）。
公理
運算必須滿足的規則，例如：
- 結合律：$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$
- 交換律：$a + b = b + a$
- 分配律：$a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c$
- 單位元存在性：存在元素$e$使得$a cdot e = a$。

常見代數系統示例

群（Group）
- 定義：一個集合與一個二元運算，滿足封閉性、結合律、存在單位元、每個元素有逆元。
- 例：整數集$mathbb{Z}$與加法構成群，單位元是0，逆元是相反數。
環（Ring）
- 定義：兩個二元運算（通常稱為加法與乘法），滿足加法群、乘法結合律、分配律。
- 例：整數集$mathbb{Z}$與加法、乘法構成環。
域（Field）
- 定義：環的擴展，要求非零元素對乘法構成交換群。
- 例：實數集$mathbb{R}$、有理數集$mathbb{Q}$均為域。
格（Lattice）
- 定義：集合上兩個滿足交換律、結合律、吸收律的二元運算。
- 應用：邏輯電路設計、數據庫理論。

代數系統的意義

數學統一性
通過抽象公理，統一不同數學對象（如數、函數、幾何變換）的研究。
計算機科學應用
- 編程語言理論（類型系統、形式語義）
- 密碼學（基于有限域的加密算法）
- 自動機與形式語言（狀态機的代數模型）。
邏輯與哲學
布爾代數用于邏輯推理，格論用于知識表示。

與非代數結構的區别

代數系統強調運算的公理化，而其他數學結構（如拓撲空間、度量空間）側重于集合的幾何或分析性質（如連續性、距離）。例如，向量空間既是代數系統（滿足線性運算規則），也是幾何結構（具有維度與方向）。