代数系统英文解释翻译、代数系统的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 algebra system; algebraic system

分词翻译：

代的英语翻译：

era; generation; take the place of
【电】 generation

数系的英语翻译：

【计】 numeral system; numerical system

统的英语翻译：

all; gather into one; interconnected system; together; tube-shaped part

专业解析

代数系统（Algebraic System）的汉英词典释义与数学解析

定义

代数系统（Algebraic System）指由非空集合与定义在该集合上的一个或多个运算构成的数学结构。其核心是通过运算规则研究集合元素的抽象关系，是抽象代数的基本研究对象。

中文术语：代数系统（Dài shù xì tǒng）
英文对应：Algebraic System（或 Algebraic Structure）

核心特征

载体集合（Carrier Set）
系统的基础是非空集合 ( A )，元素可以是数、矩阵、函数等。

运算（Operations）
在 ( A ) 上定义封闭运算（如加法、乘法），满足：对任意 ( a, b in A )，运算结果 ( a circ b in A )。

公理约束（Axioms）
运算需满足特定公理，如结合律、交换律或存在单位元（如群、环、域的定义）。

常见类型与实例

群（Group）：集合+一个二元运算（如整数集与加法）。
环（Ring）：集合+两个二元运算（如整数集与加法、乘法）。
域（Field）：具备加减乘除运算的环（如有理数集）。

应用领域

计算机科学：自动机理论、形式语言（如半群用于语法分析）。
密码学：有限域应用于椭圆曲线加密。
物理学：李群（Lie groups）描述连续对称性。

权威参考来源

《数学辞海》（中国）
定义代数系统为“具有运算的集合”，强调运算封闭性与公理化。

来源：高等教育出版社，ISBN 9787040374711（第3卷，代数分支）。

《Springer Encyclopedia of Mathematics》
将代数系统归类为“通过公理定义的数学对象”，涵盖群、环、模等结构。

来源：Springer, 链接（检索日期：2025年）。

《近世代数基础》（张禾瑞著）
系统阐述代数结构的构造与同态映射，经典教材。

来源：高等教育出版社，ISBN 9787040384728（第2章）。

注：以上内容综合数学词典定义、学术教材及权威数学百科，确保术语准确性与学术严谨性。

网络扩展解释

代数系统（又称代数结构）是数学和计算机科学中的核心概念，指一个非空集合及其上定义的一个或多个运算，这些运算满足特定公理规则。其核心目的是通过抽象化运算规则，研究不同数学对象的共同性质。

代数系统的三要素

载体集合
即代数系统的基础元素集合，例如整数集、实数集或矩阵集合。
运算
定义在集合上的操作，可以是：
- 二元运算（如加法、乘法）
- 一元运算（如取负数）
- 零元运算（如常数元素，如单位元0或1）。
公理
运算必须满足的规则，例如：
- 结合律：$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$
- 交换律：$a + b = b + a$
- 分配律：$a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c$
- 单位元存在性：存在元素$e$使得$a cdot e = a$。

常见代数系统示例

群（Group）
- 定义：一个集合与一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元、每个元素有逆元。
- 例：整数集$mathbb{Z}$与加法构成群，单位元是0，逆元是相反数。
环（Ring）
- 定义：两个二元运算（通常称为加法与乘法），满足加法群、乘法结合律、分配律。
- 例：整数集$mathbb{Z}$与加法、乘法构成环。
域（Field）
- 定义：环的扩展，要求非零元素对乘法构成交换群。
- 例：实数集$mathbb{R}$、有理数集$mathbb{Q}$均为域。
格（Lattice）
- 定义：集合上两个满足交换律、结合律、吸收律的二元运算。
- 应用：逻辑电路设计、数据库理论。

代数系统的意义

数学统一性
通过抽象公理，统一不同数学对象（如数、函数、几何变换）的研究。
计算机科学应用
- 编程语言理论（类型系统、形式语义）
- 密码学（基于有限域的加密算法）
- 自动机与形式语言（状态机的代数模型）。
逻辑与哲学
布尔代数用于逻辑推理，格论用于知识表示。

与非代数结构的区别

代数系统强调运算的公理化，而其他数学结构（如拓扑空间、度量空间）侧重于集合的几何或分析性质（如连续性、距离）。例如，向量空间既是代数系统（满足线性运算规则），也是几何结构（具有维度与方向）。