代數數英文解釋翻譯、代數數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 algebraic number

分詞翻譯：

代的英語翻譯：

era; generation; take the place of
【電】 generation

數數的英語翻譯：

count; reckon; spillikin

專業解析

代數數（Algebraic Number）是數學中數論與代數學交叉領域的重要概念，指滿足某個非零整系數多項式方程的數。具體來說，若存在整數$ a_0, a_1, dots, a_n $（不全為零），使得方程

an x^n + a{n-1} x^{n-1} + dots + a_1 x + a_0 = 0

成立，則該數$x$稱為代數數。例如，$sqrt{2}$是代數數，因為它滿足$x - 2 = 0$；所有有理數也是代數數，因它們可表示為一次多項式方程的根。

關鍵特征與實例

與超越數的區别：代數數的補集是超越數（如圓周率$pi$和自然常數$e$），後者無法用有限次整數多項式方程定義。
封閉性：代數數對四則運算封閉，即兩個代數數的和、差、積、商（除數非零）仍為代數數。
曆史背景：該概念在19世紀由數學家如埃爾米特（Hermite）和林德曼（Lindemann）通過證明$pi$和$e$的超越性而深化。

應用領域

代數數在密碼學、編碼理論及物理中的量子計算模型中有重要應用，例如基于代數數域構造的加密算法能增強數據安全性。

以上内容參考自數學學科權威資源：

網絡擴展解釋

代數數是數學中一類重要的數，其定義為：若一個數（實數或複數）是某個非零整系數多項式方程的根，則稱它為代數數。具體來說，存在整數( a_0, a_1, ldots, a_n )（不全為零），使得該數滿足方程： $$ an x^n + a{n-1} x^{n-1} + ldots + a_1 x + a_0 = 0 $$

關鍵點解析：

基本性質
- 有理數都是代數數：例如，( frac{3}{5} ) 滿足 ( 5x - 3 = 0 )。
- 部分無理數也是代數數：如 ( sqrt{2} ) 滿足 ( x - 2 = 0 )。
與超越數的區别
代數數的補集稱為超越數，即無法用整系數多項式方程定義的數。例如：
- π（圓周率）和e（自然對數的底）已被證明是超越數。
代數數的範圍
- 包括所有有理數、二次根式（如 ( sqrt{3} )）、三次根式等，甚至某些複數（如虛數單位 ( i )，滿足 ( x + 1 = 0 )）。
運算封閉性
代數數在加、減、乘、除（非零）運算下封閉，即兩個代數數的四則運算結果仍是代數數，形成一個域。
可數性與分類
- 代數數的集合是可數的（與自然數一一對應），而超越數不可數，因此超越數在實數中占“絕大多數”。

示例補充：

代數數舉例：( sqrt{5} + 1 )（滿足 ( x - 2x - 4 = 0 )）。
非代數數舉例：( ln 2 )、( 2^{sqrt{2}} )（需特殊證明為超越數）。

這一概念在數論、方程理論和數學基礎研究中具有重要地位，尤其在解決如“尺規作圖三等分角”等經典問題時起到關鍵作用。