代数数英文解释翻译、代数数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 algebraic number

分词翻译：

代的英语翻译：

era; generation; take the place of
【电】 generation

数数的英语翻译：

count; reckon; spillikin

专业解析

代数数（Algebraic Number）是数学中数论与代数学交叉领域的重要概念，指满足某个非零整系数多项式方程的数。具体来说，若存在整数$ a_0, a_1, dots, a_n $（不全为零），使得方程

an x^n + a{n-1} x^{n-1} + dots + a_1 x + a_0 = 0

成立，则该数$x$称为代数数。例如，$sqrt{2}$是代数数，因为它满足$x - 2 = 0$；所有有理数也是代数数，因它们可表示为一次多项式方程的根。

关键特征与实例

与超越数的区别：代数数的补集是超越数（如圆周率$pi$和自然常数$e$），后者无法用有限次整数多项式方程定义。
封闭性：代数数对四则运算封闭，即两个代数数的和、差、积、商（除数非零）仍为代数数。
历史背景：该概念在19世纪由数学家如埃尔米特（Hermite）和林德曼（Lindemann）通过证明$pi$和$e$的超越性而深化。

应用领域

代数数在密码学、编码理论及物理中的量子计算模型中有重要应用，例如基于代数数域构造的加密算法能增强数据安全性。

以上内容参考自数学学科权威资源：

网络扩展解释

代数数是数学中一类重要的数，其定义为：若一个数（实数或复数）是某个非零整系数多项式方程的根，则称它为代数数。具体来说，存在整数( a_0, a_1, ldots, a_n )（不全为零），使得该数满足方程： $$ an x^n + a{n-1} x^{n-1} + ldots + a_1 x + a_0 = 0 $$

关键点解析：

基本性质
- 有理数都是代数数：例如，( frac{3}{5} ) 满足 ( 5x - 3 = 0 )。
- 部分无理数也是代数数：如 ( sqrt{2} ) 满足 ( x - 2 = 0 )。
与超越数的区别
代数数的补集称为超越数，即无法用整系数多项式方程定义的数。例如：
- π（圆周率）和e（自然对数的底）已被证明是超越数。
代数数的范围
- 包括所有有理数、二次根式（如 ( sqrt{3} )）、三次根式等，甚至某些复数（如虚数单位 ( i )，满足 ( x + 1 = 0 )）。
运算封闭性
代数数在加、减、乘、除（非零）运算下封闭，即两个代数数的四则运算结果仍是代数数，形成一个域。
可数性与分类
- 代数数的集合是可数的（与自然数一一对应），而超越数不可数，因此超越数在实数中占“绝大多数”。

示例补充：

代数数举例：( sqrt{5} + 1 )（满足 ( x - 2x - 4 = 0 )）。
非代数数举例：( ln 2 )、( 2^{sqrt{2}} )（需特殊证明为超越数）。

这一概念在数论、方程理论和数学基础研究中具有重要地位，尤其在解决如“尺规作图三等分角”等经典问题时起到关键作用。