純量積英文解釋翻譯、純量積的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 scalar product

分詞翻譯：

純量的英語翻譯：

【計】 scalar quantity

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

專業解析

純量積（Scalar Product），又稱點積（Dot Product）或内積（Inner Product），是線性代數與向量分析中的核心運算，用于計算兩個向量的乘積結果為一個标量（純量）。以下是其詳細解釋：

一、數學定義

給定兩個n維向量 (mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_n]) 和 (mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, bn])，其純量積定義為： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum{i=1}^{n} a_i b_i $$ 在幾何空間中（如二維或三維），若已知向量夾角 (theta)，則等價于： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta $$ 其中 (|mathbf{a}|) 表示向量 (mathbf{a}) 的模長。

二、核心性質

交換律：(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
數乘結合律：((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k (mathbf{a} cdot mathbf{b}))
非負性與正交性：
- (mathbf{a} cdot mathbf{a} geq 0)（當且僅當 (mathbf{a}=0) 時為零）
- (mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0) 表明兩向量正交（垂直）。

三、幾何意義

純量積的幾何解釋為投影長度的乘積：

(mathbf{a} cdot mathbf{b}) 等于 (mathbf{a}) 在 (mathbf{b}) 方向上的投影長度（(|mathbf{a}| cos theta)）乘以 (|mathbf{b}|)。這一性質在計算夾角、判斷向量方向關系時至關重要。

四、應用場景

物理學：計算功 (W = mathbf{F} cdot mathbf{d})（力向量與位移向量的點積）。
計算機圖形學：光照模型中計算光線與法向量的夾角餘弦值。
機器學習：特征向量相似度計算（如餘弦相似度）。
工程學：信號處理中的相關性與能量計算。

權威參考來源：

《高等代數》（丘維聲著）——定義與代數性質
MIT OpenCourseWare《Linear Algebra》（Gilbert Strang）——幾何解釋與應用

網絡擴展解釋

純量積（Scalar Product），又稱點積或内積，是向量空間中兩個向量之間的一種運算，其結果為标量（純量）。以下是詳細解釋：

1.定義

對于兩個向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, bn)$，它們的純量積定義為： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum{i=1}^n a_i b_i = a_1b_1 + a_2b_2 + dots + a_nb_n $$

2.幾何意義

投影關系：純量積等于一個向量在另一個向量方向上的投影長度乘以第二個向量的模長。
夾角公式：若兩向量的夾角為 $theta$，則： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta $$ 由此可計算兩向量的夾角：$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。

3.性質

交換律：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$
分配律：$mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c}$
與标量乘法結合：$(cmathbf{a}) cdot mathbf{b} = c(mathbf{a} cdot mathbf{b})$
正交性：若 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$，則兩向量垂直（正交）。

4.應用領域

物理學：計算功（$W = mathbf{F} cdot mathbf{d}$）。
計算機圖形學：判斷光照方向與表面法向量的關系。
幾何分析：判斷向量間的夾角或正交性。

5.與矢量積的區别

結果類型：純量積結果為标量，矢量積（叉積）結果為向量。
幾何意義：矢量積的模長表示兩向量構成平行四邊形的面積，方向垂直于原向量平面。

如果需要具體示例或進一步擴展，可以補充說明！