纯量积英文解释翻译、纯量积的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 scalar product

分词翻译：

纯量的英语翻译：

【计】 scalar quantity

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

专业解析

纯量积（Scalar Product），又称点积（Dot Product）或内积（Inner Product），是线性代数与向量分析中的核心运算，用于计算两个向量的乘积结果为一个标量（纯量）。以下是其详细解释：

一、数学定义

给定两个n维向量 (mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_n]) 和 (mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, bn])，其纯量积定义为： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum{i=1}^{n} a_i b_i $$ 在几何空间中（如二维或三维），若已知向量夹角 (theta)，则等价于： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta $$ 其中 (|mathbf{a}|) 表示向量 (mathbf{a}) 的模长。

二、核心性质

交换律：(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
数乘结合律：((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k (mathbf{a} cdot mathbf{b}))
非负性与正交性：
- (mathbf{a} cdot mathbf{a} geq 0)（当且仅当 (mathbf{a}=0) 时为零）
- (mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0) 表明两向量正交（垂直）。

三、几何意义

纯量积的几何解释为投影长度的乘积：

(mathbf{a} cdot mathbf{b}) 等于 (mathbf{a}) 在 (mathbf{b}) 方向上的投影长度（(|mathbf{a}| cos theta)）乘以 (|mathbf{b}|)。这一性质在计算夹角、判断向量方向关系时至关重要。

四、应用场景

物理学：计算功 (W = mathbf{F} cdot mathbf{d})（力向量与位移向量的点积）。
计算机图形学：光照模型中计算光线与法向量的夹角余弦值。
机器学习：特征向量相似度计算（如余弦相似度）。
工程学：信号处理中的相关性与能量计算。

权威参考来源：

《高等代数》（丘维声著）——定义与代数性质
MIT OpenCourseWare《Linear Algebra》（Gilbert Strang）——几何解释与应用

网络扩展解释

纯量积（Scalar Product），又称点积或内积，是向量空间中两个向量之间的一种运算，其结果为标量（纯量）。以下是详细解释：

1.定义

对于两个向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, bn)$，它们的纯量积定义为： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum{i=1}^n a_i b_i = a_1b_1 + a_2b_2 + dots + a_nb_n $$

2.几何意义

投影关系：纯量积等于一个向量在另一个向量方向上的投影长度乘以第二个向量的模长。
夹角公式：若两向量的夹角为 $theta$，则： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta $$ 由此可计算两向量的夹角：$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。

3.性质

交换律：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$
分配律：$mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c}$
与标量乘法结合：$(cmathbf{a}) cdot mathbf{b} = c(mathbf{a} cdot mathbf{b})$
正交性：若 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$，则两向量垂直（正交）。

4.应用领域

物理学：计算功（$W = mathbf{F} cdot mathbf{d}$）。
计算机图形学：判断光照方向与表面法向量的关系。
几何分析：判断向量间的夹角或正交性。

5.与矢量积的区别

结果类型：纯量积结果为标量，矢量积（叉积）结果为向量。
几何意义：矢量积的模长表示两向量构成平行四边形的面积，方向垂直于原向量平面。

如果需要具体示例或进一步扩展，可以补充说明！