抽象代數英文解釋翻譯、抽象代數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 abstract algebra

take out
【經】 lay on

appearance; as; elephant; imitate; like; look as if; resemble; shape
take after; trigram
【法】 take after

era; generation; take the place of
【電】 generation

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

抽象代數（Abstract Algebra）是數學中研究代數結構及其内在規律的學科分支，其核心目标是通過公理化方法分析不同數學對象之間的共同特性。作為現代數學的基石之一，它主要涉及群、環、域、模等結構的定義、性質及相互關系。

群（Group）
由非空集合與二元運算構成，滿足封閉性、結合律、單位元、逆元四大公理。典型例子包括整數加法群（$mathbb{Z},+$）。

英文定義：A set equipped with an operation satisfying closure, associativity, identity element, and invertibility.
環（Ring）
包含兩個二元運算（加法與乘法）的代數結構，如整數環（$mathbb{Z}$）。其運算需滿足加法交換群、乘法結合律、分配律等特性。

英文定義：A set with two binary operations where addition forms an abelian group and multiplication is associative.
域（Field）
在環的基礎上要求非零元素對乘法構成交換群，如有理數域（$mathbb{Q}$）和實數域（$mathbb{R}$）。域理論在密碼學與編碼領域有重要應用。

英文定義：A commutative ring where every non-zero element has a multiplicative inverse.

抽象代數的公理化思想深刻影響了現代數學發展，其方法被廣泛應用于拓撲學（同調群）、計算機科學（布爾代數）、量子力學（李群表示）等領域。美國數學學會（AMS）将其列為21世紀數學研究的五大核心方向之一（來源：美國數學學會官網）。

抽象代數是數學的一個分支，主要研究代數結構的性質及其相互關系。它通過抽象化和公理化的方法，将傳統代數中的運算規則推廣到更一般的數學對象上。以下是核心要點：

代數結構
抽象代數的基礎是研究具有特定運算規則的集合，例如：
- 群：由一個集合和一個二元運算組成，滿足封閉性、結合律、存在單位元和逆元（如整數集與加法構成群）。
- 環：包含兩種運算（加法和乘法），滿足加法群、乘法結合律及分配律（如整數集與加法、乘法構成環）。
- 域：在環的基礎上，乘法也滿足交換律且非零元素有逆元（如有理數集、實數集均為域）。
同态與同構
研究不同代數結構之間的映射關系。若映射保持運算結構，則稱為同态；若進一步是雙射，則為同構，表明兩者本質相同。

19世紀，數學家為解決多項式方程根式解問題（如伽羅瓦理論）發展出群論，後由諾特、阿廷等人擴展為現代抽象代數體系。

若需進一步了解特定結構（如模、格）或定理，可提供更詳細的解釋方向。