抽象代数英文解释翻译、抽象代数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 abstract algebra

take out
【经】 lay on

appearance; as; elephant; imitate; like; look as if; resemble; shape
take after; trigram
【法】 take after

era; generation; take the place of
【电】 generation

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

抽象代数（Abstract Algebra）是数学中研究代数结构及其内在规律的学科分支，其核心目标是通过公理化方法分析不同数学对象之间的共同特性。作为现代数学的基石之一，它主要涉及群、环、域、模等结构的定义、性质及相互关系。

群（Group）
由非空集合与二元运算构成，满足封闭性、结合律、单位元、逆元四大公理。典型例子包括整数加法群（$mathbb{Z},+$）。

英文定义：A set equipped with an operation satisfying closure, associativity, identity element, and invertibility.
环（Ring）
包含两个二元运算（加法与乘法）的代数结构，如整数环（$mathbb{Z}$）。其运算需满足加法交换群、乘法结合律、分配律等特性。

英文定义：A set with two binary operations where addition forms an abelian group and multiplication is associative.
域（Field）
在环的基础上要求非零元素对乘法构成交换群，如有理数域（$mathbb{Q}$）和实数域（$mathbb{R}$）。域理论在密码学与编码领域有重要应用。

英文定义：A commutative ring where every non-zero element has a multiplicative inverse.

抽象代数的公理化思想深刻影响了现代数学发展，其方法被广泛应用于拓扑学（同调群）、计算机科学（布尔代数）、量子力学（李群表示）等领域。美国数学学会（AMS）将其列为21世纪数学研究的五大核心方向之一（来源：美国数学学会官网）。

抽象代数是数学的一个分支，主要研究代数结构的性质及其相互关系。它通过抽象化和公理化的方法，将传统代数中的运算规则推广到更一般的数学对象上。以下是核心要点：

代数结构
抽象代数的基础是研究具有特定运算规则的集合，例如：
- 群：由一个集合和一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元（如整数集与加法构成群）。
- 环：包含两种运算（加法和乘法），满足加法群、乘法结合律及分配律（如整数集与加法、乘法构成环）。
- 域：在环的基础上，乘法也满足交换律且非零元素有逆元（如有理数集、实数集均为域）。
同态与同构
研究不同代数结构之间的映射关系。若映射保持运算结构，则称为同态；若进一步是双射，则为同构，表明两者本质相同。

19世纪，数学家为解决多项式方程根式解问题（如伽罗瓦理论）发展出群论，后由诺特、阿廷等人扩展为现代抽象代数体系。

若需进一步了解特定结构（如模、格）或定理，可提供更详细的解释方向。