半序集英文解釋翻譯、半序集的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 half-ordered set; partially-ordered set

分詞翻譯：

半序的英語翻譯：

【計】 half order; partial order

集的英語翻譯：

collect; collection; gather; volume
【電】 set

專業解析

在數學領域，半序集（英文：Partially Ordered Set，常縮寫為poset）是一個基礎且重要的概念，指一個集合配備了一種滿足特定條件的二元關系。以下是其詳細解釋：

一、核心定義

設 ( P ) 是一個非空集合，若其上的二元關系 ( leq ) 滿足以下三條公理，則稱 ( (P, leq) ) 為半序集：

自反性（Reflexivity）：
(forall a in P,a leq a)

反對稱性（Antisymmetry）：
(forall a, b in P,(a leq b land b leq a) implies a = b)

傳遞性（Transitivity）：
(forall a, b, c in P,(a leq b land b leq c) implies a leq c)

漢英對照：

半序集 = Partially Ordered Set / Poset
偏序關系 = Partial Order Relation

二、關鍵特性

非全序性：
半序集允許元素間“不可比”。例如集合 ( S = {a, b} ) 的子集族按包含關系構成半序集，但 ( {a} ) 與 ( {b} ) 無包含關系，故不可比較。

哈斯圖表示（Hasse Diagram）：
用簡化有向圖可視化半序結構，省略自環與傳遞邊，如以下關系：

$$ begin{array}{c} bullet | bullet end{array} $$ 表示 ( a < b ) 且無其他關系。

三、應用場景

格論（Lattice Theory）：
半序集是格（滿足任意二元子集有上确界與下确界）的基礎，應用于抽象代數與計算機科學。

拓撲學：
Zorn引理（依賴半序集上的極大元存在性）是證明拓撲空間性質的關鍵工具。

四、權威參考來源

《數學百科辭典》（Springer, 2014）
定義與公理系統

MIT OpenCourseWare《離散數學》講義
哈斯圖與偏序示例

Wolfram MathWorld
格論中的偏序應用

五、術語辨析

全序集（Totally Ordered Set）：
任意兩元素均可比較（如實數集）。

預序集（Preorder）：
滿足自反性與傳遞性，但未必滿足反對稱性。

半序集通過刻畫“部分可比性”，為離散結構、邏輯與計算機科學提供了嚴謹的數學框架。

網絡擴展解釋

半序集（又稱偏序集）是數學中集合論與序理論的核心概念之一，指集合中元素之間存在一種“部分有序”而非“全序”的關系。其定義和核心性質如下：

定義

半序集是一個二元組 ((P, leq))，其中：

(P) 是一個非空集合；
(leq) 是 (P) 上的二元關系，滿足以下三條公理：
1. 自反性：對任意 (a in P)，有 (a leq a)；
2. 反對稱性：若 (a leq b) 且 (b leq a)，則 (a = b)；
3. 傳遞性：若 (a leq b) 且 (b leq c)，則 (a leq c)。

關鍵特點

部分有序性
并非所有元素都可比較。例如，集合的子集包含關系（(subseteq)）是典型的半序關系：兩個子集可能互不包含（如 ({1}) 和 ({2})），此時稱它們“不可比”。
與全序集的區别
全序集（如實數集 (mathbb{R}) 上的 (leq)）要求任意兩個元素均可比較，而半序集允許存在不可比的元素。

常見例子

幂集與子集關系
集合 (S) 的所有子集構成的集合（幂集），配合包含關系 (subseteq)，構成半序集。
自然數的整除關系
自然數集 (mathbb{N}) 中，若 (a leq b) 表示“(a) 整除 (b)”，則 ((mathbb{N}, leq)) 是半序集，但非全序（如3和5不可比）。
任務調度中的優先級
任務間可能存在依賴關系（如任務A必須在任務B之前完成），但并非所有任務都有明确先後順序。

應用領域

格理論：研究半序集中元素的上确界、下确界；
計算機科學：用于形式化程式語義、數據庫查詢優化；
拓撲學：構造特殊拓撲空間（如Alexandroff拓撲）。

若需進一步了解半序集的性質（如哈斯圖、極大/極小元等），可補充具體問題。