半序集英文解释翻译、半序集的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 half-ordered set; partially-ordered set

分词翻译：

半序的英语翻译：

【计】 half order; partial order

集的英语翻译：

collect; collection; gather; volume
【电】 set

专业解析

在数学领域，半序集（英文：Partially Ordered Set，常缩写为poset）是一个基础且重要的概念，指一个集合配备了一种满足特定条件的二元关系。以下是其详细解释：

一、核心定义

设 ( P ) 是一个非空集合，若其上的二元关系 ( leq ) 满足以下三条公理，则称 ( (P, leq) ) 为半序集：

自反性（Reflexivity）：
(forall a in P,a leq a)

反对称性（Antisymmetry）：
(forall a, b in P,(a leq b land b leq a) implies a = b)

传递性（Transitivity）：
(forall a, b, c in P,(a leq b land b leq c) implies a leq c)

汉英对照：

半序集 = Partially Ordered Set / Poset
偏序关系 = Partial Order Relation

二、关键特性

非全序性：
半序集允许元素间“不可比”。例如集合 ( S = {a, b} ) 的子集族按包含关系构成半序集，但 ( {a} ) 与 ( {b} ) 无包含关系，故不可比较。

哈斯图表示（Hasse Diagram）：
用简化有向图可视化半序结构，省略自环与传递边，如以下关系：

$$ begin{array}{c} bullet | bullet end{array} $$ 表示 ( a < b ) 且无其他关系。

三、应用场景

格论（Lattice Theory）：
半序集是格（满足任意二元子集有上确界与下确界）的基础，应用于抽象代数与计算机科学。

拓扑学：
Zorn引理（依赖半序集上的极大元存在性）是证明拓扑空间性质的关键工具。

四、权威参考来源

《数学百科辞典》（Springer, 2014）
定义与公理系统

MIT OpenCourseWare《离散数学》讲义
哈斯图与偏序示例

Wolfram MathWorld
格论中的偏序应用

五、术语辨析

全序集（Totally Ordered Set）：
任意两元素均可比较（如实数集）。

预序集（Preorder）：
满足自反性与传递性，但未必满足反对称性。

半序集通过刻画“部分可比性”，为离散结构、逻辑与计算机科学提供了严谨的数学框架。

网络扩展解释

半序集（又称偏序集）是数学中集合论与序理论的核心概念之一，指集合中元素之间存在一种“部分有序”而非“全序”的关系。其定义和核心性质如下：

定义

半序集是一个二元组 ((P, leq))，其中：

(P) 是一个非空集合；
(leq) 是 (P) 上的二元关系，满足以下三条公理：
1. 自反性：对任意 (a in P)，有 (a leq a)；
2. 反对称性：若 (a leq b) 且 (b leq a)，则 (a = b)；
3. 传递性：若 (a leq b) 且 (b leq c)，则 (a leq c)。

关键特点

部分有序性
并非所有元素都可比较。例如，集合的子集包含关系（(subseteq)）是典型的半序关系：两个子集可能互不包含（如 ({1}) 和 ({2})），此时称它们“不可比”。
与全序集的区别
全序集（如实数集 (mathbb{R}) 上的 (leq)）要求任意两个元素均可比较，而半序集允许存在不可比的元素。

常见例子

幂集与子集关系
集合 (S) 的所有子集构成的集合（幂集），配合包含关系 (subseteq)，构成半序集。
自然数的整除关系
自然数集 (mathbb{N}) 中，若 (a leq b) 表示“(a) 整除 (b)”，则 ((mathbb{N}, leq)) 是半序集，但非全序（如3和5不可比）。
任务调度中的优先级
任务间可能存在依赖关系（如任务A必须在任务B之前完成），但并非所有任务都有明确先后顺序。

应用领域

格理论：研究半序集中元素的上确界、下确界；
计算机科学：用于形式化程序语义、数据库查询优化；
拓扑学：构造特殊拓扑空间（如Alexandroff拓扑）。

若需进一步了解半序集的性质（如哈斯图、极大/极小元等），可补充具体问题。